# the Gauss-Legendre method # # For given n, x_i, a_i (i = 1, 2,..., n), # \int_{-1}^1 f(x)dx = \sum_{k=1}^n a_i f(x_i) # # n # x_1, a_1 # x_2, a_2 # ... # x_n, a_n # 1 0, 2 2 -0.5773502691896257645, 1 0.5773502691896257645, 1 3 -0.7745966692414833770, 0.5555555555555555555 0 , 0.8888888888888888888 0.7745966692414833770, 0.5555555555555555555 4 -0.8611363115940525752, 0.3478548451374538573 -0.3399810435848562648, 0.6521451548625461426 0.3399810435848562648, 0.6521451548625461426 0.8611363115940525752, 0.3478548451374538573 5 -0.9061798459386639927, 0.2369268850561890875 -0.5384693101056830910, 0.4786286704993664680 0 , 0.5688888888888888888 0.5384693101056830910, 0.4786286704993664680 0.9061798459386639927, 0.2369268850561890875 6 -0.9324695142031520278, 0.1713244923791703450 -0.6612093864662645136, 0.3607615730481386075 -0.2386191860831969086, 0.4679139345726910473 0.2386191860831969086, 0.4679139345726910473 0.6612093864662645136, 0.3607615730481386075 0.9324695142031520278, 0.1713244923791703450 7 -0.9491079123427585245, 0.1294849661688696932 -0.7415311855993944398, 0.2797053914892766679 -0.4058451513773971669, 0.3818300505051189449 0 , 0.4179591836734693877 0.4058451513773971669, 0.3818300505051189449 0.7415311855993944398, 0.2797053914892766679 0.9491079123427585245, 0.1294849661688696932 8 -0.9602898564975362316, 0.1012285362903762591 -0.7966664774136267395, 0.2223810344533744705 -0.5255324099163289858, 0.3137066458778872873 -0.1834346424956498049, 0.3626837833783619829 0.1834346424956498049, 0.3626837833783619829 0.5255324099163289858, 0.3137066458778872873 0.7966664774136267395, 0.2223810344533744705 0.9602898564975362316, 0.1012285362903762591 9 -0.9681602395076260898, 0.0812743883615744119 -0.8360311073266357942, 0.1806481606948574040 -0.6133714327005903973, 0.2606106964029354623 -0.3242534234038089290, 0.3123470770400028400 0 , 0.3302393550012597631 0.3242534234038089290, 0.3123470770400028400 0.6133714327005903973, 0.2606106964029354623 0.8360311073266357942, 0.1806481606948574040 0.9681602395076260898, 0.0812743883615744119 10 -0.9739065285171717200, 0.0666713443086881375 -0.8650633666889845107, 0.1494513491505805931 -0.6794095682990244062, 0.2190863625159820439 -0.4333953941292471907, 0.2692667193099963550 -0.1488743389816312108, 0.2955242247147528701 0.1488743389816312108, 0.2955242247147528701 0.4333953941292471907, 0.2692667193099963550 0.6794095682990244062, 0.2190863625159820439 0.8650633666889845107, 0.1494513491505805931 0.9739065285171717200, 0.0666713443086881375 11 -0.9782286581460569928, 0.0556685671161736664 -0.8870625997680952990, 0.1255803694649046246 -0.7301520055740493240, 0.1862902109277342514 -0.5190961292068118159, 0.2331937645919904799 -0.2695431559523449723, 0.2628045445102466621 0 , 0.2729250867779006307 0.2695431559523449723, 0.2628045445102466621 0.5190961292068118159, 0.2331937645919904799 0.7301520055740493240, 0.1862902109277342514 0.8870625997680952990, 0.1255803694649046246 0.9782286581460569928, 0.0556685671161736664 12 -0.9815606342467192506, 0.0471753363865118271 -0.9041172563704748566, 0.1069393259953184309 -0.7699026741943046870, 0.1600783285433462263 -0.5873179542866174472, 0.2031674267230659217 -0.3678314989981801937, 0.2334925365383548087 -0.1252334085114689154, 0.2491470458134027849 0.1252334085114689154, 0.2491470458134027849 0.3678314989981801937, 0.2334925365383548087 0.5873179542866174472, 0.2031674267230659217 0.7699026741943046870, 0.1600783285433462263 0.9041172563704748566, 0.1069393259953184309 0.9815606342467192506, 0.0471753363865118271 13 -0.9841830547185881494, 0.0404840047653158794 -0.9175983992229779652, 0.0921214998377284479 -0.8015780907333099127, 0.1388735102197872384 -0.6423493394403402206, 0.1781459807619457382 -0.4484927510364468528, 0.2078160475368885023 -0.2304583159551347940, 0.2262831802628972383 0 , 0.2325515532308739101 0.2304583159551347940, 0.2262831802628972384 0.4484927510364468528, 0.2078160475368885023 0.6423493394403402206, 0.1781459807619457382 0.8015780907333099127, 0.1388735102197872384 0.9175983992229779652, 0.0921214998377284479 0.9841830547185881494, 0.0404840047653158795 14 -0.9862838086968123388, 0.0351194603317518629 -0.9284348836635735173, 0.0801580871597602097 -0.8272013150697649931, 0.1215185706879031846 -0.6872929048116854701, 0.1572031671581935344 -0.5152486363581540919, 0.1855383974779378137 -0.3191123689278897604, 0.2051984637212956038 -0.1080549487073436620, 0.2152638534631577901 0.1080549487073436620, 0.2152638534631577901 0.3191123689278897604, 0.2051984637212956038 0.5152486363581540919, 0.1855383974779378137 0.6872929048116854701, 0.1572031671581935345 0.8272013150697649931, 0.1215185706879031846 0.9284348836635735173, 0.0801580871597602098 0.9862838086968123388, 0.0351194603317518630 15 -0.9879925180204854284, 0.0307532419961172682 -0.9372733924007059043, 0.0703660474881081246 -0.8482065834104272162, 0.1071592204671719349 -0.7244177313601700474, 0.1395706779261543144 -0.5709721726085388475, 0.1662692058169939334 -0.3941513470775633698, 0.1861610000155622109 -0.2011940939974345223, 0.1984314853271115763 0 , 0.2025782419255612728 0.2011940939974345223, 0.1984314853271115763 0.3941513470775633698, 0.1861610000155622109 0.5709721726085388475, 0.1662692058169939334 0.7244177313601700474, 0.1395706779261543144 0.8482065834104272162, 0.1071592204671719350 0.9372733924007059043, 0.0703660474881081247 0.9879925180204854284, 0.0307532419961172683 16 -0.9894009349916499325, 0.0271524594117541418 -0.9445750230732325760, 0.0622535239386476611 -0.8656312023878317438, 0.0951585116824936109 -0.7554044083550030338, 0.1246289712555317890 -0.6178762444026437484, 0.1495959888165763436 -0.4580167776572273863, 0.1691565193950022896 -0.2816035507792589132, 0.1826034150449241009 -0.0950125098376374401, 0.1894506104550710876 0.0950125098376374401, 0.1894506104550710876 0.2816035507792589132, 0.1826034150449241009 0.4580167776572273863, 0.1691565193950022896 0.6178762444026437484, 0.1495959888165748230 0.7554044083550030338, 0.1246289712555336817 0.8656312023878317438, 0.0951585116824936109 0.9445750230732325760, 0.0622535239386476611 0.9894009349916499325, 0.0271524594117541418 17 -0.9905754753144173356, 0.0241483028685476201 -0.9506755217687677612, 0.0554595293739865334 -0.8802391537269859021, 0.0850361483171808826 -0.7815140038968014069, 0.1118838471934040714 -0.6576711592166907658, 0.1351363684685329651 -0.5126905370864769678, 0.1540457610768145071 -0.3512317634538763152, 0.1680041021564669827 -0.1784841814958478558, 0.1765627053670307864 0 , 0.1794464703561962263 0.1784841814958478558, 0.1765627053670325923 0.3512317634538763152, 0.1680041021564669827 0.5126905370864769678, 0.1540457610768145071 0.6576711592166907658, 0.1351363684685254462 0.7815140038968014069, 0.1118838471934004877 0.8802391537269859021, 0.0850361483171771632 0.9506755217687677612, 0.0554595293739865334 0.9905754753144173356, 0.0241483028685481922 18 -0.9915651684209309467, 0.0216160135264818535 -0.9558239495713977551, 0.0497145488949654233 -0.8926024664975557392, 0.0764257302548817121 -0.8037049589725231156, 0.1009420441062823601 -0.6916870430603532078, 0.1225552067114765112 -0.5597708310739475346, 0.1406429146706468928 -0.4117511614628426460, 0.1546846751262654896 -0.2518862256915055095, 0.1642764837458448186 -0.0847750130417353012, 0.1691423829631806756 0.0847750130417353012, 0.1691423829631806756 0.2518862256915055095, 0.1642764837458448186 0.4117511614628426460, 0.1546846751262654896 0.5597708310739475346, 0.1406429146706468928 0.6916870430603532078, 0.1225552067114765112 0.8037049589725231156, 0.1009420441062809329 0.8926024664975557392, 0.0764257302548817121 0.9558239495713977551, 0.0497145488949654233 0.9915651684209309467, 0.0216160135264838454 19 -0.9924068438435844031, 0.0194617882297310883 -0.9602081521348300308, 0.0448142267656969578 -0.9031559036148179016, 0.0690445427376723491 -0.8227146565371428249, 0.0914900216224196815 -0.7209661773352293786, 0.1115666455472889686 -0.6005453046616810234, 0.1287539625393422203 -0.4645707413759609457, 0.1426067021736529898 -0.3165640999636298319, 0.1527660420657696140 -0.1603586456402253758, 0.1589688433941825168 0 , 0.1610544498487879557 0.1603586456402253758, 0.1589688433941825168 0.3165640999636298319, 0.1527660420658241191 0.4645707413759609457, 0.1426067021736284088 0.6005453046616810234, 0.1287539625393422203 0.7209661773352293786, 0.1115666455472889686 0.8227146565371428249, 0.0914900216224196815 0.9031559036148179016, 0.0690445427376589354 0.9602081521348300308, 0.0448142267656966086 0.9924068438435844031, 0.0194617882297304577 20 -0.9931285991850949247, 0.0176140071391509477 -0.9639719272779137912, 0.0406014298004575904 -0.9122344282513259058, 0.0626720483340504248 -0.8391169718222188233, 0.0832767415765769076 -0.7463319064601507926, 0.1019301198173220399 -0.6360536807265150254, 0.1181945319615032560 -0.5108670019508270980, 0.1316886384490802539 -0.3737060887154195606, 0.1420961093182665285 -0.2277858511416450780, 0.1491729864725847704 -0.0765265211334973337, 0.1527533871305867974 0.0765265211334973337, 0.1527533871305867974 0.2277858511416450780, 0.1491729864725847704 0.3737060887154195606, 0.1420961093182637094 0.5108670019508270980, 0.1316886384490802539 0.6360536807265150254, 0.1181945319615401563 0.7463319064601507926, 0.1019301198172575399 0.8391169718222188233, 0.0832767415766119039 0.9122344282513259058, 0.0626720483340504248 0.9639719272779137912, 0.0406014298004322308 0.9931285991850949247, 0.0176140071391509477