$ p | ab $のとき，$p \nmid a$を仮定する．このとき$a$が素数なので，$a$と$p$は互いに素である．よって命題 1.11より$p | b$が従い証明が完了した．

まずは存在を示す． $|n|$が素数のときは$n=\pm |n|$が欲しい表示であるので存在する．特に，$|n|= 2$で成り立つ． 次に，$3$以上の整数$k$に対し，$1 \lt |m| \lt k$を満たす任意の整数$m$が素因数分解を持つと仮定する．このとき$|n|=k$を満たす整数$n$が素因数分解を持つことを示す．$k$は合成数であると仮定してよい．つまり$1$でない自然数$a,b$を使って$k= ab$，特に$n=\pm ab$という表示を持つ．このとき$1\lt a,b \lt k$であるので，帰納法の仮定から$a$と$b$は素因数分解を持つ．それを$a=p_1 p_2 \cdots p_s, b=q_1 q_2 \cdots q_r$とする． すると \[ n=\pm p_1 p_2 \cdots p_s q_1 q_2 \cdots q_r \] となり，$n$は素因数分解を持つ．したがって，$|n|$に関する帰納法より素因数分解の存在が示された．

次に一意性を示す． これは$n$が素因数分解の表示として \[ n=\pm p_1 p_2 \cdots p_s=\pm q_1 q_2 \cdots q_r \] という2つの表示が与えられたとき，$s=r$かつ適当に順番を並び替えることにより$p_1=q_1,\ldots,p_s=q_s$となるようにできることを言えばよい．これも$|n|$に関する帰納法で示す．$|n|$が素数のときは，$n=\pm |n|$という表示が一意的であることは容易にわかる．特に，$|n|=2$で成り立つ．次に，$3$以上の整数$k$に対し，$1 \lt |m| \lt k$を満たす任意の整数$m$の素因数分解が一意的であると仮定する．このとき$|n|=k$を満たす整数$n$の素因数分解が一意的であることを示す．$k$は合成数であると仮定してよい． \[ n=\pm p_1 p_2 \cdots p_s=\pm q_1 q_2 \cdots q_r \] という2つの素因数分解の表示が与えられたと仮定する．$k$が合成数であるので$s,r \geq 2$である． $p_s | \pm q_1 q_2 \cdots q_r$であるから，命題 1.17を繰り返し使うことで，$p_s$は$q_1,\ldots,q_r$のいずれかを割り切る．必要なら$q_1,\ldots,q_r$の順番を並べ替えることで$p_s | q_r$としてよい．このとき，$p_s=q_r$である．一方， \[ \dfrac{n}{p_s}=\pm p_1 p_2 \cdots p_{s-1}=\pm q_1 q_2 \cdots q_{r-1} \] となるが，$p_s >1$から$1 \lt \left| \dfrac{n}{p_s} \right|\lt k$であるから，帰納法の仮定より整数$\dfrac{n}{p_s}$の素因数分解は一意的である．つまり，$s-1=r-1$，つまり$s=r$かつ適当に順番を並び替えることにより$p_1=q_1,\ldots,p_{s-1}=q_{s-1}$となるようにできる．よって$p_s=q_r$と合わせることで$n$は一意的な素因数分解を持つ．したがって$|n|$に関する帰納法より，素因数分解の一意性が示された．