情報数理B

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1回目：情報数理Aの復習（集合と論理）

1.1 直積集合

数学の表現方法として直積集合という概念がある．その定義を復習する． 要素の順序対 (ordered pair) $(a,b)$ を考える．$a$は第1成分と呼ばれ，$b$は第2成分と呼ばれる．このとき $a=b$でないならば，$(a,b) \neq (b,a)$ である．さらに，$(a,b)=(c,d)$となるのは，$a=c$かつ$b=d$のときで，かつこのときに限る． 2つの任意の集合$A$と$B$を考える．すべての順序対 $(a,b)$ $(a \in A, b \in B)$の集合は，$A$と$B$の直積 (direct product) と呼ばれ，$A\times B$と表す．定義より， \[ A\times B = \{(a,b) : a \in A , b \in B \} \] となる．また，しばしば$A\times A$の代わりに，$A^2$と書く． 順序対の概念を拡張すると，$n$個の順序付けられた成分の組$(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n)$を要素として持つ直積集合が定義できる． \[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) : a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \cdots, a_n \in A_n \} \] \[ A^n = A \times A \times \cdots \times A = \{(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) : a_1, a_2, \cdots, a_n \in A \} \]
直積集合は例えば次のような例を表したいときに使う．
  • $xy$平面の全ての点の集合は$\mathbb{R}$を実数の集合として，$\mathbb{R}^2 = \{ (x, y) : x, y \in \mathbb{R} \}$と表せる．また$xyz$空間内の全ての点の集合は$\mathbb{R}^3 = \{ (x, y,z) : x, y,z \in \mathbb{R} \}$と表せる．これを拡張した$n$個の実数の組の集まり$\mathbb{R}^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{R}\}$を$n$次元実空間という．
  • コンピュータ上で一般的に用いられる色の集合は$X$を0以上255以下の自然数の集合とし，集合$R$を赤の成分の大きさを表す集合，集合$G$を緑の成分の大きさを表す集合，集合$R$を青の成分の大きさを表す集合として，$R\times G\times B = \{(r,g,b) : r, g, b \in X\}$と表せる．
このように直積集合はいくつかのデータの組を扱うときに使う．一方で，一つの対象をいくつかの成分に分解するときに使うことも多い．例えば，複素数の全体の集合を$\mathbb{C}$としたとき，複素数$x \in \mathbb{C}$は実数$a,b \in \mathbb{R}$を使って，$x=a+b\sqrt{-1}$と表すことができる．この$x \in \mathbb{C}$と$(a,b) \in \mathbb{R}^2$の対応により，$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}^2$と同一視できる．複素平面はこの対応を考えている．

1.2 論理

数学の証明の基本は，ある命題$P$を仮定して，新しい命題$Q$が成り立つこと，つまり推論 \[ P \Rightarrow Q \] を証明することである．よく使う性質として以下のものが挙げられる．
  1. $\lnot P \land \lnot Q \Leftrightarrow \lnot (P \lor Q)$（ド・モルガンの法則）
  2. $\lnot P \lor \lnot Q \Leftrightarrow \lnot (P \land Q)$（ド・モルガンの法則）
  3. $P \land Q \Rightarrow P$
  4. $P \Rightarrow P \lor Q$
  5. $(P \rightarrow Q) \Leftrightarrow \lnot P \lor Q$
  6. $(P \rightarrow Q) \land P \Leftrightarrow P \land Q$
  7. $(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R)$（三段論法）
  8. $(P \rightarrow Q) \Leftrightarrow (\lnot Q \rightarrow \lnot P)$（対偶）
変数 (variable) $x$を含む命題$P(x)$を述語という． 述語は変数$x$に具体的な値を代入することによって命題となる． 変数を増やして$P(x_1,x_2,\ldots,x_n)$という命題も考えられる． 述語$P(x)$に対して，「すべての$x$について$P(x)$である」という命題を全称命題といい， $\forall x (P(x))$と書く．$\forall$は全称記号と呼ばれる（for allを表す）． また，述語$P(x)$に対して，「ある$x$について$P(x)$である」という命題を存在命題といい， $\exists x (P(x))$と書く．$\exists$は存在記号と呼ばれる（existを表す）． 複数の変数に対して$\forall$または$\exists$が連続で出てくる場合，例えば，$\forall x( \exists y ( P(x,y)))$の場合は$\forall x \exists y (P(x,y))$のように記号の前のカッコを省略する．$\forall$と$\exists$の両方が連続で出てくる場合，その順番で意味が変わることに注意する．

1.3 集合族

集合を要素として持つ集合を集合族 (family of sets)と呼ぶ．添字集合を$\Lambda$とする集合族$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$の共通部分$\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$と合併$\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$を \begin{align*} &x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \underset{\rm def}{\Leftrightarrow} \forall \lambda \in \Lambda ( x \in A_{\lambda}), &x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \underset{\rm def}{\Leftrightarrow} \exists \lambda \in \Lambda ( x \in A_{\lambda}) \end{align*} で定義する．添字集合が自然数全体の集合$\mathbb{N}$のときは，$\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} A_{k}$や$\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}$とも書く． また添字集合を定めずに集合族$\mathcal{A}$の共通部分と合併を考えるときは$\displaystyle\bigcap_{X \in \mathcal{A}} X$や$\displaystyle\bigcup_{X \in \mathcal{A}} X$とも書く．

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