2回目：情報数理Aの復習（写像）

2.1 写像

空集合でない集合$X$から集合$Y$への対応を考える．このとき次の2つの性質を持つとき，$X$から$Y$への写像 (map) と呼ぶ．

• $X$の1つの要素から対応する$Y$の要素は1つしかない（$X$の異なる2つの要素が同じ$Y$の要素と対応してもよい）．
• 任意の$X$の要素について，対応する$Y$の要素が必ずある．

一般に，集合$X$から集合$Y$への写像を \begin{equation} f : X \rightarrow Y \nonumber \end{equation} と書く．これは写像$f$によって，$X$の要素$x$に対応して，$Y$の要素$f(x)$が定まっていることを意味している．また写像によって要素$x$に対して要素$y$が対応することを$x \mapsto y$と書く．上の$f$で考えると，$x \mapsto f(x)$となっている．この記号は写像を具体的に定義するときによく使う．
写像$f : X\to Y$に対し，集合$X$を$f$の定義域と呼び，${\rm dom}(f)$と書き，集合$Y$を$f$の終域と呼び，${\rm codom}(f)$と書く． また要素$x \in X$に対応する$Y$の要素$f(x)$は$f$による$x$の像 (image)という． この像を全て集めた集合 \begin{equation} {\rm Im} (f):= \{ f(x) : x \in X \} \nonumber \end{equation} を$f$の像という． このとき，いつでも${\rm Im} (f) \subset Y$であるが，${\rm Im} (f) = Y$になるとは限らない． また部分集合$A \subset X$に対し， \[ f(A) :=\{ f(x) : x \in A\} \] を$f$による$A$の像という．このとき，

1. $f(X)={\rm Im} (f)$かつ$f(\emptyset)=\emptyset$
2. $A_1 \subset A_2 \subset X$ならば$f(A_1) \subset f(A_2) \subset f(X)$

が成り立つ． $Y$の部分集合$B$に対し，集合$f^{-1}(B) \subset X$を \[ f^{-1} (B)=\{ x \in X : f(x) \in B \} \] で定義する．つまり$f$に対応する$Y$の要素が$B$に含まれる$X$の要素全体の集合である．これを$f$による$B$の逆像 (inverse image) という．ただし，$f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$としておく．この定義の中で，$f^{-1}$はただの記号で，写像を表していないことに注意する． 実際，$f^{-1}$が$f$の逆対応とすると，$f^{-1}$は写像の条件(1)または(2)を満たさないことがある．

2.2 全射と単射

写像$f : X \rightarrow Y$が全射 (surjective) または上への写像 (onto) であるとは， 任意の$y \in Y$に対し，$y=f(x)$を満たす$x \in X$が存在するときにいう．つまり，どんな$Y$の要素も$f$によって対応があるということである． 論理式で書くと次の命題が真となる： \[\forall y \in Y, \exists x \in X ( y=f(x))\]これは${\rm Im}(f)=Y$と同値である． $f$が全射であることを$f : X \twoheadrightarrow Y$で表す．
写像$f : X \rightarrow Y$が単射 (injective) または１対１ (one-to-one)であるとは， 任意の2つの$x_1 ,x_2 \in X$に対し，$x_1 \neq x_2$ならば$f(x_1) \neq f(x_2)$となるときにいう． つまり，$X$の各要素は，$f$によって異なる$Y$の要素に対応するということである． 論理式で書くと \[\forall x_1, x_2 \in X ( x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2))\]が真となることである． 対偶を考えれば， \[\forall x_1, x_2 \in X ( f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2)\] である． つまり，$Y$のある要素が$f$によって対応していれば，対応する$X$の要素はただ1つ（一意的）に定まるということである．$f$が単射であることを$f :X \hookrightarrow{} Y $で表す．
写像$f : X \rightarrow Y$が全射かつ単射であるとき，全単射 (bijective) と呼ぶ． $f$が全単射なとき，$f$の逆対応を$f^{-1}$で表すと，これは写像の定義を満たす．この写像$f^{-1}$は$f$の逆写像と呼ぶ．集合$A$のある要素$a$を同じ要素$a$に対応させる写像${\rm id}_A : A \to A, a \mapsto a$のことを$A$の恒等写像 (identity map)という． 逆写像を正確に定義すると，写像$f : X \to Y$に対し，写像$g : Y \to X$で$g \circ f ={\rm id}_X$かつ$f \circ g={\rm id}_Y$となるものを$f$の逆写像と呼び，$f^{-1}$と書くのである．また写像$f$が全単射になることと，$f$が逆写像を持つことは同値である．