2. 情報数理Aの復習（写像）

集合の各要素に別の集合の要素をただ1つ対応させる規則を，写像として扱う．写像の性質は，対応の規則だけでなく，定義域と終域によっても異なる．

2.1 写像

集合\(X,Y\)に対し，\(X\)の各元\(x\)に対して\(Y\)の元をただ1つ対応させる規則を，\(X\)から\(Y\)への写像 (map)という．写像\(f\)が\(X\)から\(Y\)への写像であることを \[f:X\to Y\] と書く．\(X\)を\(f\)の定義域 (domain)，\(Y\)を\(f\)の終域 (codomain)という．また，\(x\in X\)に対応する\(Y\)の元を\(f(x)\)と書き，\(x\)の\(f\)による像 (image)という．\(x\)が\(f(x)\)に対応することを \[x\mapsto f(x)\] と書く．したがって，写像を具体的に定義するときには \[f:X\to Y,\qquad x\mapsto f(x)\] のように書くことが多い．

例えば \[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto x^2\] は実数\(x\)を\(x^2\)に対応させる写像である．一方， \[g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto \frac1x\] と書いただけでは写像は定義できない．\(0\in\mathbb{R}\)に対して\(1/0\)が定まらないからである．定義域を変えて \[g:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto \frac1x\] とすれば写像となる．このように，写像を定義するときには「どの集合から」「どの集合へ」「各元を何に対応させるか」を明確にする必要がある．

ここで，\(0\)以上の実数全体の集合を \[\mathbb{R}_{\geq0}:=\{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}\] と書く．このように，数の集合の右下に条件を添えて，その条件を満たす数だけを集めた集合を表すことがある．

同じ式で定められていても，定義域や終域が異なれば異なる写像である．例えば \[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto x^2, \qquad h:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0},\quad x\mapsto x^2\] は異なる写像である．写像\(f,g:X\to Y\)が等しいとは，任意の\(x\in X\)に対して\(f(x)=g(x)\)が成り立つことをいう．

2.2 部分集合の像と逆像

写像\(f:X\to Y\)と\(X\)の部分集合\(A\subset X\)に対して， \[f(A):=\{f(x):x\in A\}\subset Y\] を\(A\)の\(f\)による像という．特に， \[\operatorname{Im}(f):=f(X)=\{f(x):x\in X\}\] を\(f\)の像または像集合という．常に\(\operatorname{Im}(f)\subset Y\)であるが，等号が成り立つとは限らない．

一方，\(Y\)の部分集合\(B\subset Y\)に対して， \[f^{-1}(B):=\{x\in X:f(x)\in B\}\subset X\] を\(B\)の\(f\)による逆像 (inverse image)という．ここで\(f^{-1}(B)\)は全体で1つの記号であり，この段階では\(f^{-1}\)単独には意味を持たせない．後で定義する逆写像にも\(f^{-1}\)という記号を用いるが，逆像とは文脈によって区別する．

これらの定義を，要素が属する条件として書くと，\(y\in Y\)，\(x\in X\)に対して \[\begin{aligned} y\in f(A)&\Longleftrightarrow\exists u\in A\ (f(u)=y),\\ x\in f^{-1}(B)&\Longleftrightarrow f(x)\in B \end{aligned}\] となる．像では「その元を像に持つ元が存在するか」を調べ，逆像では「その元を写した先が条件を満たすか」を調べる．特に，\(f(x)\)は\(Y\)の元であるのに対し，\(f(A)\)は\(Y\)の部分集合である．

実数の区間を次の記号で表す．実数\(a<b\)に対して， \[\begin{aligned} &:=\{x\in\mathbb R:a\leq x\leq b\}, & (a,b)&:=\{x\in\mathbb R:a<x<b\},\\ [a,b)&:=\{x\in\mathbb R:a\leq x<b\}, & (a,b]&:=\{x\in\mathbb R:a<x\leq b\} \end{aligned}\] と書く．それぞれ閉区間，開区間，および2種類の半開区間である．角括弧の側の端点は含み，丸括弧の側の端点は含まない．開区間\((a,b)\)と順序対\((a,b)\)は同じ形の記号なので，文脈で区別する．

像と逆像は集合の包含や演算とよく対応する．例えば\(A_1,A_2\subset X\)，\(B_1,B_2\subset Y\)とすると， \[A_1\subset A_2\Rightarrow f(A_1)\subset f(A_2),\qquad B_1\subset B_2\Rightarrow f^{-1}(B_1)\subset f^{-1}(B_2)\] が成り立つ．また， \[f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2),\qquad f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)\] であり，逆像については \[f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)\] も成り立つ．一方，像については一般に \[f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)\] までしか言えない．

例えば\(A_1\subset A_2\Rightarrow f(A_1)\subset f(A_2)\)は定義からすぐに証明できる．任意の\(y\in f(A_1)\)をとると，ある\(x\in A_1\)を用いて\(y=f(x)\)と書ける．\(A_1\subset A_2\)なので\(x\in A_2\)であり，したがって\(y\in f(A_2)\)である．

逆像と共通部分の等式も，任意の\(x\in X\)に対して \[\begin{aligned} x\in f^{-1}(B_1\cap B_2) &\Longleftrightarrow f(x)\in B_1\cap B_2\\ &\Longleftrightarrow f(x)\in B_1\ \text{かつ}\ f(x)\in B_2\\ &\Longleftrightarrow x\in f^{-1}(B_1)\ \text{かつ}\ x\in f^{-1}(B_2)\\ &\Longleftrightarrow x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2) \end{aligned}\] と書けば証明できる．このように，写像に関する集合の命題も定義に戻って証明することが基本である．

2.3 合成写像と恒等写像

写像\(f:X\to Y\)と\(g:Y\to Z\)に対して，\(x\in X\)をまず\(f\)で\(f(x)\in Y\)に送り，さらに\(g\)で\(g(f(x))\in Z\)に送ることで，\(X\)から\(Z\)への写像を作ることができる．この写像を\(f\)と\(g\)の合成写像といい， \[g\circ f:X\to Z,\qquad x\mapsto g(f(x))\] と書く．\(g\circ f\)では，先に\(f\)，続いて\(g\)を作用させる．

集合\(X\)に対して，各元を自分自身に対応させる写像 \[\operatorname{id}_X:X\to X,\qquad x\mapsto x\] を\(X\)の恒等写像 (identity map)という．任意の写像\(f:X\to Y\)に対して \[f\circ\operatorname{id}_X=f,\qquad \operatorname{id}_Y\circ f=f\] が成り立つ．また，\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)，\(h:Z\to W\)に対して \[h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\] が成り立つ．これを合成写像の結合律という．

2.4 全射・単射・全単射

写像\(f:X\to Y\)が全射 (surjective)であるとは，\(Y\)のすべての元が\(f\)による像として現れること，すなわち \[\forall y\in Y\ \exists x\in X\ (f(x)=y)\] が成り立つことをいう．これは\(\operatorname{Im}(f)=Y\)と同値である．

写像\(f:X\to Y\)が単射 (injective)であるとは，異なる2元が\(f\)によって異なる元に移るときにいう．すなわち，任意の\(x_1,x_2\in X\)に対して \[x_1\neq x_2\to f(x_1)\neq f(x_2)\] が成り立つことである．この含意の対偶は \[f(x_1)=f(x_2)\to x_1=x_2\] である．この条件がすべての\(x_1,x_2\in X\)について成り立つことも，単射であることと同値である．単射の証明では，後者の形を用いて\(f(x_1)=f(x_2)\)から\(x_1=x_2\)を導くことが多い．

全射かつ単射である写像を全単射 (bijective)という．全単射では，\(X\)の各元と\(Y\)の各元が\(f\)によって1対1に対応する．すなわち，任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)を満たす\(x\in X\)がただ1つ存在する．

この例から，写像の性質を考えるときには対応の式だけでなく，定義域と終域を確認することが重要であることがわかる．

全射・単射は合成写像ともよく対応する．例えば，\(f:X\to Y\)と\(g:Y\to Z\)がともに単射ならば\(g\circ f\)も単射であり，ともに全射ならば\(g\circ f\)も全射である．また，\(g\circ f\)が単射ならば\(f\)は単射であり，\(g\circ f\)が全射ならば\(g\)は全射である．これらはいずれも定義から直接確かめることができる．

2.5 逆写像

まず，全単射から逆向きの対応を作ることを考える．写像\(f:X\to Y\)が全単射であるとする．全射であることから，任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が存在し，単射であることからそのような\(x\)はただ1つに定まる．そこで，各\(y\in Y\)に\(f(x)=y\)を満たす唯一の\(x\in X\)を対応させれば，\(f\)による対応を逆向きにたどる写像\(Y\to X\)が得られる．この写像を\(f\)の逆写像といい，\(f^{-1}\)と書く．このように逆写像は構成的に定義できるが，逆写像の普遍的な性質から定義することもできる．

まず，合成が恒等写像になるという条件から，左逆写像と右逆写像を定義する．

左逆写像と右逆写像は，それぞれ単射と全射に関係している．

命題 2.7 の証明

(1) \(g:Y\to X\)を\(f\)の左逆写像とする．\(f(x_1)=f(x_2)\)とすると，両辺に\(g\)を作用させて \[x_1=(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)=x_2\] となる．したがって\(f\)は単射である．

(2) \(g:Y\to X\)を\(f\)の右逆写像とする．任意の\(y\in Y\)に対して\(x=g(y)\)とおけば \[f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=y\] となるので，\(f\)は全射である．

(3) 合成写像の結合律より \[g=g\circ\operatorname{id}_Y=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h =\operatorname{id}_X\circ h=h\] である．

左逆写像や右逆写像は，一般に一意とは限らない．例えば\(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\)を\(f(n)=2n\)で定め， \[g(m)=\begin{cases}m/2&(m\text{が偶数}),\\0&(m\text{が奇数})\end{cases}\] とすると\(g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}\)なので\(g\)は\(f\)の左逆写像である．奇数に対する\(g\)の値を変えても左逆写像であるため，左逆写像は一意ではない．一方，\(q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq0}\)を\(q(x)=x^2\)で定めると， \[r_+(y)=\sqrt{y},\qquad r_-(y)=-\sqrt{y}\] はいずれも\(q\circ r_+=q\circ r_-=\operatorname{id}_{\mathbb{R}_{\geq0}}\)を満たすので，\(q\)は異なる2つの右逆写像を持つ．

両方の合成が恒等写像になるとき，逆写像が得られる．

すなわち，逆写像とは\(f\)の左逆写像かつ右逆写像である写像である．命題2.7(3)より，左逆写像と右逆写像がそれぞれ存在すれば両者は一致し，その写像は\(f\)の逆写像となる．

逆写像の存在は全単射とちょうど対応する．

定理 2.9 の証明

(1) \(f\)が逆写像を持てば，その逆写像は左逆写像かつ右逆写像なので，命題2.7より\(f\)は単射かつ全射，すなわち全単射である．

逆に\(f\)が全単射であるとする．任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)を満たす\(x\in X\)は存在し，しかも一意である．そこで，この\(x\)を\(f^{-1}(y)\)と定めると写像\(f^{-1}:Y\to X\)が得られる．定義から \[f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X,\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y\] が成り立つので，\(f^{-1}\)は\(f\)の逆写像である．

(2) \(g,h:Y\to X\)がともに\(f\)の逆写像ならば，\(g\)を左逆写像，\(h\)を右逆写像とみなせるので，命題2.7(3)より\(g=h\)である．

全単射\(f:X\to Y\)に対して\(f^{-1}:Y\to X\)も全単射であり， \[(f^{-1})^{-1}=f\] である．また，全単射\(f:X\to Y\)と\(g:Y\to Z\)に対して\(g\circ f\)も全単射であり， \[(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\] が成り立つ．合成する順番が逆になることに注意する．例えば \[(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f) =f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f =f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X\] であり，反対側から合成しても同様に恒等写像になる．

記号\(f^{-1}\)には，次の2つの用法がある．部分集合\(B\subset Y\)に対する\(f^{-1}(B)\)は\(B\)の逆像であり，これは任意の写像\(f\)について定義できる．一方，全単射\(f\)に対する\(f^{-1}\)は\(f\)の逆写像であり，写像そのものを表す．同じ記号を用いるが，意味は文脈によって異なる．