11回目：有理数

前回の講義では，自然数と同値類を用いて整数を定義し，そして整数上の加法，乗法を定義した． また減法は加法に関する逆元の足し算を考えることで定義できた． 今回の講義では，さらに拡張し，有理数を定義し，その性質を調べる．ただし，証明方法はこれまでとほぼ同じ流れなので，新しいこと以外は省略する．

11.1 有理数の定義

ここでは整数は通常通り$0,1,-1,2,-2,\ldots$と書き，これまで通りの加法，減法，乗法を使う． 整数のときと同様に，有理数の定義でも同値類を用いる．整数を有理数に拡張するということは，結局，「整数上の分数」を定義することである．「小数」という概念はここでは考えない．例えば，$\frac{2}{3}$は分子$2$と分母$3$の２つの整数の組でできている．整数のときと同様で， \[ \dfrac{2}{3}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{-4}{-6}=\cdots \] のように$\frac{2}{3}$を表す分数（整数の組）は無限個存在する． $0$が分母に現れなかったことに注意し，有理数を定義しよう． $\mathbb{Z}$を整数全体の集合とし，$\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z} \setminus \{0\}$で$0$以外の整数全体の集合を表すことにする． 直積集合$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}$上の二項関係$\sim$を以下で定義する． \[ (p_1, q_1) \sim (p_2, q_2) \overset{{\rm def}}{\Leftrightarrow} p_1 \cdot q_2 = p_2 \cdot q_1 \] ここでの演算$「\cdot」$は整数上の乗法である． 例えば，$(2,3) \sim (-2,-3) \sim (4,6) \sim (-4,-6)$であることがわかるであろう． この$\sim$は同値関係である（各自確認）． ここで$\sim$による同値類を考えてみると， \begin{align*} [(0,1)]_{\sim} &= \{ (0,1), (0,-1),(0,2), (0,-2),\ldots\} & \mbox{($(0,1)$を代表元とする同値類)}\\ [(1,1)]_{\sim} &= \{ (1,1), (-1,-1), (2,2),(-2,-2),\ldots\} & \mbox{($(1,1)$を代表元とする同値類)}\\ [ (-1,1)]_{\sim} &= \{ (-1,1), (1,-1), (-2,2),(2,-2),\ldots\} & \mbox{($(-1,1)$を代表元とする同値類)}\\ [ (1,2)]_{\sim} &= \{ (1,2), (-1,-2), (2,4),(-2,-4),\ldots\} & \mbox{($(1,2)$を代表元とする同値類)} \end{align*} となっている．気持ちとして$[(p,q)]_{\sim}$は分数$\frac{p}{q}$を表している．以降，単に$[(p,q)]$と書く．この同値類$[(p,q)]$を有理数と呼ぶ． さらに，有理数全体の集合，つまり商集合$(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}) / \sim$を$\mathbb{Q}$と書くことにする． また$[(p,q)]$を$\frac{p}{q}$で略記することで， \[ \frac{4}{6}=[(4,6)]= [(2,3)]=\frac{2}{3} \] のように約分することができる．ここで，$2$と$\frac{2}{1}$は違う集合に属することに注意しよう．これは $\mathbb{Z}$の元と$\mathbb{Q}$の元を区別するためである．

11.2 有理数の加法，乗法

次に有理数の加法と乗法を定義する． 実際，次のように定義する． \begin{align*} [(p_1,q_1)]+_{\mathbb{Q}} [(p_2,q_2)] &\overset{{\rm def}}{=} [(p_1 \cdot q_2+p_2 \cdot q_1,q_1 \cdot q_2)]\\ [(p_1,q_1)] \cdot_{\mathbb{Q}} [(p_2,q_2)] &\overset{{\rm def}}{=} [(p_1 \cdot p_2, q_1 \cdot q_2)] \end{align*} 以降$+_{\mathbb{Q}}$と$\cdot_{\mathbb{Q}}$は単に$+$と$\cdot$と書く． なぜこのように定義するかというと，これまで使ってきた分数の足し算と掛け算を考えると， \begin{align*} \frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}&=\frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1q_2}\\ \frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}&=\frac{p_1p_2}{q_1q_2} \end{align*} となっているからである． 具体的に計算してみると， \[ \frac{1}{6}+\frac{2}{3}=[(1,6)] + [(2,3)] = [(1\cdot 3+2 \cdot 6,6\cdot 3)]=[(15,18)]=[(5,6)]=\frac{5}{6} \] となる．
整数のときと同様で，この演算がwell-definedであることを確認する必要がある． 次に，上で定義した有理数の演算の性質をそれぞれ見ていく． 便宜上$\mathbf{0}=\frac{0}{1}$と書くことにする． (4)の$a$は$x=[(p,q)]$に対し，$a=[(-p,q)]$とすればよい．$x$の加法に関する逆元を$-x$と書くこととすると，有理数の減法は\[x-_{\mathbb{Q}}y \underset{\rm def}{=}x+ (-y)\]と定義すればよい．
次に有理数の乗法の性質を見ていく． 便宜上，$\mathbf{1}=\frac{1}{1}$と書くことにする． また整数のときと同様で符号の掛け算も確認できる．

11.3 有理数の除法

整数の場合，乗法に関する逆元は$1$と$-1$の場合にしか存在しなかった．しかし，有理数の場合，ほとんどすべての元に対し，乗法に関する逆元が存在する． 一方，定理11.3の(4)より，$\mathbf{0}$は乗法に関して逆元を持たない． $\mathbf{0}$ではない有理数$x \in \mathbb{Q} \setminus \{ \mathbf{0}\}$の乗法に関する逆元を$x^{-1}$と書くことにする． つまり，$x=[(p,q)]$ならば$x^{-1}=[(q,p)]$である． $-x$の「$-$」がただの記号であったように，$x^{-1}$の「$-1$」は$-1$という整数ではなく，ただの記号である． 乗法の逆元の性質から \[ (x^{-1})^{-1}=x \] であることがわかる．先ほど述べたように「$-1$」は記号であったので，指数法則を使って$(-1)\cdot (-1)=1$と計算しているわけではない．この等式は「$x^{-1}$の乗法に関する逆元は$x$である」ということを述べているに過ぎないことに注意しよう．
さて，減法は加法の逆元の足し算で定義することができた．同じ考えで，除法は乗法の逆元の掛け算で定義される． つまり，有理数$x,y \in \mathbb{Q}$で$y \neq \mathbf{0}$となるものに対し，有理数の除法を次のように定義する： \[ x \div_{\mathbb{Q}} y \underset{\rm def}{=} x \cdot y^{-1}. \] 具体的に計算してみると \[ \frac{1}{6} \div \frac{2}{3} = [(1,6)] \div [(2,3)]= [(1,6)] \cdot [(2,3)]^{-1}=[(1,6)] \cdot [(3,2)]=[(1 \cdot 3, 6 \cdot 2)]=[(3,12)]=[(1,4)]=\frac{1}{4} \] となる．
このように定義すると「なぜ$\mathbf{0}$で割れないのか？」という疑問は「$\mathbf{0}$は乗法に関する逆元を持たないから」と理由づけることができる．

11.4 体

有理数の集合は四則演算（足し算，引き算，掛け算，割り算）がうまく定義されていることがわかった．こういった代数系を体 (たい)という．集合$X$と$X$上の演算$+$と$\cdot$に対し，$(X,+,\cdot)$が体 (field)であるとは，$(X,+,\cdot)$が可換環でかつ，性質「$+$に関する単位元（$\mathbf{0}$のこと）を除いて，全ての元は$\cdot$に関して逆元を持つ」を満たすときにいう．この後ろの性質が「割り算が定義できる」ということである． $\mathbb{Q}$のことを有理数体（rational field）と呼び，計算機やプログラミングにおける一般的な「数」として扱われる．これまで登場した「群・環・体」が代数学の基本的な研究対象（道具）である．

11.5 有理数上の順序

これまで自然数から始めて，整数，有理数と定義してきたが，まだその中の数の順序を定義していない．再び自然数から順序関係を定義していく．整数と有理数では同値関係を使って定義していたので，区別するために，整数を定義するときに使う同値関係を${\sim_{\mathbb{Z}}}$，有理数を定義するときに使う同値関係を${\sim_{\mathbb{Q}}}$と書く．また各演算も$+_{\mathbb{N}}, +_{\mathbb{Z}}, +_{\mathbb{Q}}$のように書く． 自然数$x,y \in \mathbb{N}$に対し，$\mathbb{N}$上の関係を \[ x \leq_{\mathbb{N}} y \overset{\rm def}{\iff} \mbox{$y=x+_{\mathbb{N}} a$となる，ある自然数$a \in \mathbb{N}$が存在する} \] で定義する．つまり$y$は$x$と同じか，$x$のいくつか後ろの自然数である．すると$\leq_{\mathbb{N}}$は順序関係となる． 次に，整数$[(n_1,m_1)]_{\sim_{\mathbb{Z}}},[(n_2,m_2)]_{\sim_{\mathbb{Z}}}$（$n_1,n_2,m_1,m_2 \in \mathbb{N}$）に対し，$\mathbb{Z}$上の関係を \[ [(n_1,m_1)]_{\sim_{\mathbb{Z}}} \leq_{\mathbb{Z}} [(n_2,m_2)]_{\sim_{\mathbb{Z}}} \overset{\rm def}{\iff} n_1+_{\mathbb{N}} m_2 \leq_{\mathbb{N}} m_1+_{\mathbb{N}} n_2 \] で定義する．これは$n_1-m_1 \leq n_2-m_2$が$n_1+m_2 \leq m_1 + n_2$と同値であることから導かれる． $\leq_{\mathbb{Z}}$の定義の中で$\leq_{\mathbb{N}}$を使っていることも注意が必要である（定義する前までは自然数の順序関係しかないため）． このとき$\leq_{\mathbb{Z}}$はwell-definedであり，さらに順序関係である． 最後に，有理数上の順序のために，正の整数の集合$\mathbb{Z}^+=\{ a \in \mathbb{Z}: a >_{\mathbb{Z}} 0\}$を考える．このとき，どんな有理数$x \in \mathbb{Q}$も代表元を$(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+$からとってこれる．つまり，分母を正の整数とすることができる． すると有理数$[(p_1,q_1)]_{\sim_{\mathbb{Q}}},[(p_2,q_2)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}$（$p_1,p_2 \in \mathbb{Z}, q_1,q_2 \in \mathbb{Z}^{+}$）に対し，$\mathbb{Q}$上の関係を \[ [(p_1,q_1)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} \leq_{\mathbb{Q}} [(p_2,q_2)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} \overset{\rm def}{\iff} p_1 \cdot_{\mathbb{Z}} q_2 \leq_{\mathbb{Z}} p_2 \cdot_{\mathbb{Z}} q_1 \] で定義する．これは$q_1,q_2 > 0$から，$\frac{p_1}{q_1} \leq \frac{p_2}{q_2}$と$p_1 q_2 \leq p_2 q_1 $が同値であることから導かれる． このとき$\leq_{\mathbb{Q}}$はwell-definedであり，さらに順序関係である．
以上より，自然数，整数，有理数の順序関係を定義することができた．特に，上記の順序関係が全順序であることも証明できる． 情報数理Aで勉強した濃度を考えると，$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$は同じ濃度であった．つまり無限集合としてこの3つの集合の「大きさ」は同じである．しかし，順序集合で見ると，有理数は他の2つに比べると「びっしりつまっている」性質を持つ． 実際， 証明は通常の有理数と通常の演算を考え，$c$として$a$と$b$の平均（中間値）を取ればよい．この性質は自然数と整数では成り立たないことはわかるであろう（例えば$1$と$2$）．この性質を有理数の稠密性という．

11.6 実数と複素数

我々が普段使っている「数」は実数であろうが，実数の集合$\mathbb{R}$を定義するにはさらなる道具が必要である．少し大雑把に紹介する．実数の一般的な構成法は有理数の集合$\mathbb{Q}$の完備化である．これはコーシー列と呼ばれる後ろの方ではほとんど動かない数列を定義し，そのコーシー列にある同値関係を入れ，その同値類を実数とする方法である． もう一つの方法はデデキント切断という有理数の集合$\mathbb{Q}$を2つの集合$A$と$B$で$(a,b) \in A \times B$なら$a \leq b$となるように分ける方法$(A,B)$を実数とする方法である．興味がある人は自分で調べてみてほしい．実数が定義できれば，複素数の集合$\mathbb{C}$定義は簡単である．$a+b\sqrt{-1}$という複素数を実数の組$(a,b) \in \mathbb{R}^2$と対応させて，加法と乗法を \begin{align*} (a_1,b_1)+_{\mathbb{C}} (a_2,b_2) &= (a_1+a_2,b_1+b_2)\\ (a_1,b_1) \cdot_{\mathbb{C}} (a_2,b_2) &= (a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) \end{align*} と定義すればいいだけである（これは初回の授業で考えた問題である）． こうすれば，$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=-1$となっている．実数や複素数も体となっていて，それぞれ実数体 (real field)と複素数体 (complex field)と呼ぶ．この2つの体の大きな違いは複素数体の場合，どんな$n$次多項式も重複を含めて$n$個の解を持つということである（代数学の基本定理）．こういった性質を持つ体を代数閉体 (algebraic closed field)と呼ぶ．