11. 有理数
前章では，自然数と同値類を用いて整数を定義し，整数上の加法と乗法を定義した．また，減法は加法に関する逆元を加えることとして定義した．本章では，さらに整数を拡張して有理数を定義し，その性質を調べる．
11.1 有理数の定義
ここでは整数を通常どおり\(0,1,-1,2,-2,\ldots\)と書き，通常の整数の加法，減法，乗法を用いる．整数を有理数へ拡張することは，整数を分子と分母にもつ分数を定義することと考えられる．ここでは小数による表示は考えない．例えば，\(\frac23\)は分子\(2\)と分母\(3\)という2つの整数の組によって表される．
整数の場合には，同じ差を表す自然数の組を同一視した．有理数の場合も，同じ分数を表す整数の組を同一視する．実際， \[\frac23=\frac{-2}{-3}=\frac46=\frac{-4}{-6}=\cdots\] のように，\(\frac23\)を表す整数の組は無限に存在する．この例で分母に\(0\)が現れていないことに注意し，分母が\(0\)でない整数の組を用いて有理数を定義する．
\(\mathbb Z_{\neq0}:=\mathbb Z\setminus\{0\}\)とする． \(\mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0}\)上の関係\(\sim_{\mathbb Q}\)を \[(p,q)\sim_{\mathbb Q}(r,s) \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}ps=rq\] と定める．ここでの積は整数の乗法である．
\(\sim_{\mathbb Q}\)は同値関係である．
命題 11.2 の証明
反射律と対称律は等号の性質から従う．推移律について，\((p,q)\sim_{\mathbb Q}(r,s)\)，\((r,s)\sim_{\mathbb Q}(t,u)\)とする．\(ps=rq\)，\(ru=ts\)なので \[(pu)s=(ps)u=(rq)u=q(ru)=q(ts)=(tq)s\] となる．\(s\neq0\)より，整数の乗法の消去法則を用いて\(pu=tq\)を得る．したがって\((p,q)\sim_{\mathbb Q}(t,u)\)である．
分母が零でないという条件は，この推移律の証明にも使われている．仮に\((0,0)\)を許すと，\((1,1)\sim(0,0)\)かつ\((0,0)\sim(2,1)\)なのに\((1,1)\not\sim(2,1)\)となり，同じ式では同値関係にならない．
商集合 \[\mathbb Q:=(\mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0})/{\sim_{\mathbb Q}}\] を有理数全体の集合といい，その元を有理数という．\((p,q)\)の同値類を\([(p,q)]_{\mathbb Q}\)と書き，さらに \[\frac pq:=[(p,q)]_{\mathbb Q}\] と略記する．本章内では，同値類の添字\(\mathbb Q\)も省く．
例えば， \[\begin{aligned} &=\{(0,k):k\in\mathbb Z_{\neq0}\},\\ [(1,1)]&=\{(k,k):k\in\mathbb Z_{\neq0}\},\\ [(-1,1)]&=\{(-k,k):k\in\mathbb Z_{\neq0}\},\\ [(1,2)]&=\{(k,2k):k\in\mathbb Z_{\neq0}\} \end{aligned}\] である．最後の等式は，\((p,q)\sim(1,2)\)の条件が\(q=2p\)となることから分かる． また，約分とは同じ同値類の別の代表元を選ぶことである．例えば \[\frac46=[(4,6)]=[(2,3)]=\frac23\] となるのは\(4\cdot3=2\cdot6\)だからである．整数\(2\)と有理数\([(2,1)]\)は，構成上は異なる対象である．
11.2 有理数の加法と乗法
有理数の代表元に対する次の規則を考える． \[\begin{aligned} +_{\mathbb Q}[(r,s)]&:=[(ps+rq,qs)],\\ [(p,q)]\cdot_{\mathbb Q}[(r,s)]&:=[(pr,qs)]. \end{aligned}\] また，\(0_{\mathbb Q}:=[(0,1)]\)，\(1_{\mathbb Q}:=[(1,1)]\)とおく．
\(q,s\neq0\)ならば，命題10.10より\(qs\neq0\)である．したがって，右辺の組は確かに\(\mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0}\)に属する．
上の2つの規則は代表元の選び方に依存せず，well-definedである．
定理 11.4 の証明
\((p,q)\sim_{\mathbb Q}(p',q')\)，\((r,s)\sim_{\mathbb Q}(r',s')\)とする．仮定は\(pq'=p'q\)，\(rs'=r's\)である．加法については \[\begin{aligned} (ps+rq)(q's') &=(pq')ss'+(rs')qq'\\ &=(p'q)ss'+(r's)qq'\\ &=(p's'+r'q')(qs) \end{aligned}\] なので，\((ps+rq,qs)\sim_{\mathbb Q}(p's'+r'q',q's')\)である． 乗法については \[(pr)(q's')=(pq')(rs')=(p'q)(r's)=(p'r')(qs)\] なので，\((pr,qs)\sim_{\mathbb Q}(p'r',q's')\)である．
したがって，上の式によって\(\mathbb Q\)上の加法と乗法が定義される．以下，混乱のない場合には演算の添字を省く．
分数の記号では，これらの演算は \[\frac pq+\frac rs=\frac{ps+rq}{qs},\qquad \frac pq\cdot\frac rs=\frac{pr}{qs}\] と書ける．これらは単に計算上の約束ではなく，同値類上で矛盾なく定義された演算である．例えば \[\frac16+\frac23=\frac{1\cdot3+2\cdot6}{6\cdot3} =\frac{15}{18}=\frac56\] となる．
任意の\(x,y,z\in\mathbb Q\)について，次が成り立つ．
\(x+(y+z)=(x+y)+z\)，\(x+y=y+x\)，\(x+0_{\mathbb Q}=0_{\mathbb Q}+x=x\)．
各\(x\)に対し，\(x+a=a+x=0_{\mathbb Q}\)を満たす\(a\)がただ1つ存在する．
\(x(yz)=(xy)z\)，\(xy=yx\)，\(x1_{\mathbb Q}=1_{\mathbb Q}x=x\)．
\(x0_{\mathbb Q}=0_{\mathbb Q}x=0_{\mathbb Q}\)．
\(x(y+z)=xy+xz\)，\((x+y)z=xz+yz\)．
定理 11.5 の証明
\(x=p/q\)，\(y=r/s\)，\(z=t/u\)とする．加法の結合律では，両辺とも \[\frac{psu+rqu+tqs}{qsu}\] となる．加法の交換律と単位元の性質は，定義から直ちに分かる． \(x=p/q\)に対して\(a=(-p)/q\)とすれば\(x+a=0_{\mathbb Q}\)であり，逆順の和も同じである．逆元の一意性は整数の場合と同じく，結合律と単位元の性質から従う．
乗法の結合律では両辺とも\(prt/(qsu)\)となり，交換律・単位元・零との積も定義から分かる．分配律の前半については \[x(y+z)=\frac{p(ru+ts)}{qsu},\qquad xy+xz=\frac{prqu+ptqs}{q^2su}\] となる．後者の分子と分母から共通の非零因子\(q\)を除けば前者となるので，同じ有理数である．後半は乗法の交換律から従う．
加法の逆元を\(-x\)と書き，減法を\(x-y:=x+(-y)\)と定義する．したがって， \[-\frac pq=\frac{-p}{q},\qquad \frac pq-\frac rs=\frac{ps-rq}{qs}\] である．さらに，整数の場合の証明と同じく，分配律と逆元の一意性から \[(-x)y=x(-y)=-(xy),\qquad (-x)(-y)=xy\] も得られる．これらの証明は整数の特別な表示には依存していない．
11.3 整数の埋め込み
写像 \[j:\mathbb Z\to\mathbb Q,\qquad p\mapsto\frac p1\] は単射であり，加法と乗法を保つ．
命題 11.6 の証明
\(p/1=r/1\)ならば\(p\cdot1=r\cdot1\)なので\(p=r\)となる．また， \[\frac p1+\frac r1=\frac{p+r}{1},\qquad \frac p1\cdot\frac r1=\frac{pr}{1}\] から，演算を保つことが分かる．
この埋め込みによって整数\(p\)と有理数\(p/1\)を同一視し，\(0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q}\)を単に\(0,1\)と書く．自然数の埋め込みと合わせると， \[\mathbb N\ \longrightarrow\ \mathbb Z\ \longrightarrow\ \mathbb Q, \qquad n\longmapsto[(n,0)]_{\mathbb Z},\quad p\longmapsto[(p,1)]_{\mathbb Q}\] という関係が得られる．通常の\(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\)という書き方は，これらの埋め込みによって元を同一視した上での記法である．
11.4 有理数の除法
零でない各有理数\(x\)に対し，\(xy=yx=1\)を満たす有理数\(y\)がただ1つ存在する．一方，\(0\)は乗法の逆元を持たない．
定理 11.7 の証明
まず\(p/q=0/1\)の条件は\(p=0\)である．したがって\(x=p/q\neq0\)ならば\(p,q\)はともに零でない．\(y=q/p\)とすれば \[xy=yx=\frac{pq}{pq}=1\] となる．別の元\(z\)も\(xz=zx=1\)を満たせば \[z=z\cdot1=z(xy)=(zx)y=1\cdot y=y\] なので一意である．また\(0\cdot y=0\)はすべての\(y\)で成り立ち，\(0\neq1\)であるから，\(0\)の逆元は存在しない．
\(x\neq0\)の乗法の逆元を\(x^{-1}\)と書く．つまり， \[\left(\frac pq\right)^{-1}=\frac qp\qquad(p\neq0)\] である．この式も代表元によらない．実際，\(p/q=r/s\neq0\)ならば\(ps=rq\)であり，\(q/p=s/r\)の条件\(qr=sp\)も成り立つ． 記号\(x^{-1}\)は乗法の逆元を表す．ここで上付きの\(-1\)は，数\(-1\)そのものを表しているのではなく，\(x\)の乗法の逆元を表すための記号である．例えば\((x^{-1})^{-1}=x\)は，指数法則を用いて得るのではなく，\(x\)が\(x^{-1}\)の逆元であることから従う．
\(x,y\in\mathbb Q\)，\(y\neq0\)に対して，除法を \[x\div y:=xy^{-1}\] と定義する．\(x/y\)とも書く．
したがって，除法は独立した基本演算ではなく，割る数の乗法の逆元を掛けることとして定まる．例えば \[\frac16\div\frac23=\frac16\cdot\frac32=\frac3{12}=\frac14\] である．零で割れない理由は，零に乗法の逆元が存在しないためである．また，\(y\neq0\)ならば\(yz=x\)はただ1つの解\(z=y^{-1}x\)を持つが，\(y=0\)では\(x\neq0\)なら解がなく，\(x=0\)ならすべての\(z\)が解になる．したがって，\(0/0\)も1つの値には定まらない．
11.5 体
可換環\((F,+,\cdot)\)が体 (field)であるとは，\(0\neq1\)であり，零でないすべての元が乗法の逆元を持つことをいう．
体では加法・減法・乗法に加えて，零でない元による除法ができる．\(0\neq1\)という条件により，零元しかない環は体に含めない． 体は必ず整域である．実際，\(xy=0\)かつ\(x\neq0\)ならば，両辺に\(x^{-1}\)を掛けて\(y=0\)を得る．一方，整数の例から分かるように，整域が必ず体になるわけではない． これまでに示した性質から，\(\mathbb Q\)は体である．これを有理数体 (field of rational numbers)という．また，\((\mathbb Q,+)\)と\((\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)\)はともにアーベル群である．後者では必ず\(0\)を除くことに注意する．
| 集合 | 加法について | 乗法について | 2つの演算を合わせると |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb N\) | モノイド | モノイド | 環ではない |
| \(\mathbb Z\) | アーベル群 | モノイド | 整域（体ではない） |
| \(\mathbb Q\) | アーベル群 | 非零元全体でアーベル群 | 体 |
同じ記号\(+\)や\(\cdot\)を使っていても，どの集合で計算するかによって，解ける方程式や使える逆元が変わる．有理数は整数の組によって正確に表現できるので，分数を厳密に扱う計算にも適している．
11.6 自然数から有理数までの順序
自然数の順序は加法によって定義できる．整数と有理数にも，埋め込みによってもとの順序を保つ全順序が定まり，これらの順序は加法および正の数の乗法と両立する．
11.6.1 自然数の順序
\(a,b\in\mathbb N\)に対して \[a\leq_{\mathbb N}b\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists c\in\mathbb N\ (b=a+c)\] と定める．\(a\leq_{\mathbb N}b\)かつ\(a\neq b\)のとき\(a<_{\mathbb N}b\)と書く．文脈から明らかな場合には添字を省く．
\(\leq_{\mathbb N}\)は全順序であり，任意の\(a,b,c\in\mathbb N\)に対して次を満たす．
\(a\leq b\Longleftrightarrow a+c\leq b+c\)．
\(c>0\)ならば，\(a<b\Longleftrightarrow ac<bc\)．
\(a,b>0\)ならば\(ab>0\)．
命題 11.11 の証明
\(a=a+0\)より反射律が成り立つ．\(b=a+c\)，\(d=b+e\)ならば\(d=a+(c+e)\)なので推移律が成り立つ．\(b=a+c\)かつ\(a=b+d\)ならば\(a=a+(c+d)\)であり，命題9.10から\(c=d=0\)，したがって\(a=b\)となる．これが反対称律である．
全順序であることを\(a\)についての帰納法で示す．\(a=0\)ならば，どの\(b\)に対しても\(b=0+b\)なので\(0\leq b\)である．\(a\)がすべての自然数と比較可能だと仮定する．\(b=0\)ならば\(0\leq\mathrm S(a)\)であり，\(b=\mathrm S(d)\)ならば，\(a\leq d\)または\(d\leq a\)を用いて\(\mathrm S(a)\leq\mathrm S(d)\)またはその逆が得られる．実際，\(d=a+c\)ならば\(\mathrm S(d)=\mathrm S(a)+c\)である．
(1) \(a\leq b\)ならば，ある\(d\in\mathbb N\)に対して\(b=a+d\)と書けるので，\(b+c=(a+c)+d\)より\(a+c\leq b+c\)となる．逆に，\(a+c\leq b+c\)ならば，ある\(d\in\mathbb N\)に対して\(b+c=(a+c)+d=(a+d)+c\)と書ける．\(c\)を消去すると\(b=a+d\)となり，\(a\leq b\)を得る．等号についても消去できるので，狭義の不等式でも同じ性質が成り立つ．
先に(3)を示す．自然数では\(0\leq a\)なので，\(a>0\)と\(a\neq0\)は同値である．\(a,b>0\)ならば命題9.11より\(ab\neq0\)であり，\(0\leq ab\)と合わせて\(ab>0\)となる．
(2)について，まず\(a<b\)とする．このとき\(b=a+d\)となる\(d>0\)があり，\(bc=ac+dc\)かつ(3)より\(dc>0\)であるから\(ac<bc\)となる．逆に\(ac<bc\)とする．全順序性より，\(a=b\)ならば\(ac=bc\)となり，\(a>b\)ならば\(b<a\)に対して今示したことを適用して\(bc<ac\)となる．いずれも矛盾するので\(a<b\)である．
正の自然数を掛けると狭義の大小関係が保たれる．乗法の消去法則そのものは第9章で証明した．
11.6.2 整数の順序
自然数の順序を整数へ拡張する．埋め込みを明示して， \[x\leq_{\mathbb Z}y\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists n\in\mathbb N\ (y=x+\iota(n))\] と定める．つまり，\(y-x\)が自然数の像となるとき\(x\leq_{\mathbb Z}y\)とする． これは整数そのものの演算を用いた定義なので，代表元の選択には依存しない． 代表元で書けば， \[[(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)] \Longleftrightarrow a+d\leq_{\mathbb N}b+c\] である．実際，\([(c,d)]=[(a+n,b)]\)という条件は\(c+b=a+d+n\)であり，右辺の順序の定義に一致する．
\(\leq_{\mathbb Z}\)は自然数の順序を拡張する全順序である．また， \[x\leq y\Longleftrightarrow x+z\leq y+z\] が成り立ち，\(z>0\)ならば \[x<y\Longleftrightarrow xz<yz\] が成り立つ．
命題 11.12 の証明
反射律は\(n=0\)，推移律は自然数の加法を用いればよい．\(y=x+\iota(n)\)かつ\(x=y+\iota(m)\)ならば，加法の消去により\(\iota(n+m)=0\)となる．\(\iota\)の単射性と命題9.10より\(n=m=0\)なので，\(x=y\)となる． 任意の差\(y-x\)は，第10章で示した表示により自然数の像かその逆元であるから，\(x,y\)は比較可能である．代表元の式に\(b=d=0\)を代入すれば，自然数の順序と一致することも分かる． 加法との両立については，定義から \[x\leq y \Longleftrightarrow \exists n\in\mathbb N\ (y=x+\iota(n)) \Longleftrightarrow \exists n\in\mathbb N\ (y+z=(x+z)+\iota(n)) \Longleftrightarrow x+z\leq y+z\] となる．\(x<y\)，\(z>0\)ならば，\(y-x=\iota(n)\)，\(z=\iota(m)\)となる\(n,m>0\)がある．したがって\(yz-xz=\iota(nm)>0\)なので\(xz<yz\)となる．逆に，\(xz<yz\)，\(z>0\)とする．\(x=y\)ならば\(xz=yz\)となり，\(x>y\)ならば今示したことから\(xz>yz\)となるので，いずれも矛盾する．全順序性より\(x<y\)である．
11.6.3 有理数の順序
\(p/q=(-p)/(-q)\)であり，零でない整数は正か負のどちらかなので，すべての有理数は正の分母を持つ代表元で表せる．正の分母にそろえると，整数の大小関係によって有理数の順序を定めることができる．
\(q,s>0\)である表示を用いて，有理数の順序を \[\frac pq\leq_{\mathbb Q}\frac rs \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}ps\leq_{\mathbb Z}rq\] と定める．等しくない場合を\(<_{\mathbb Q}\)で表す．以後，添字は必要な場合だけ付ける．
分母が正であるという条件を外すと，同じ規則は使えない．例えば\(0/1=0/(-1)\)であるが，\(0/1\leq1/1\)に対応する\(0\leq1\)は真であるのに対し，\(0/(-1)\leq1/1\)に上の規則を適用すると\(0\leq-1\)となる．
上の定義は正の分母を持つ代表元の選び方によらず，\(\mathbb Q\)上の全順序を定める．また，整数の埋め込みは順序を保つ．
命題 11.14 の証明
\(p/q=p'/q'\)，\(r/s=r'/s'\)とし，\(q,q',s,s'>0\)とする．\(pq'=p'q\)，\(rs'=r's\)であるから \[\begin{aligned} ps\leq rq &\Longleftrightarrow (ps)q's'\leq(rq)q's'\\ &\Longleftrightarrow (p's')qs\leq(r'q')qs\\ &\Longleftrightarrow p's'\leq r'q' \end{aligned}\] となる．各同値変形には，正の整数を両辺に掛けても，両辺から共通の正の因子を消去しても，不等号の向きが変わらないことを用いた．したがって，この定義はwell-definedである．
反射律と任意の2元の比較可能性は，整数の全順序から従う．\(ps\leq rq\)かつ\(rq\leq ps\)ならば\(ps=rq\)，すなわち\(p/q=r/s\)なので反対称律も成り立つ． 推移律について，\(p/q\leq r/s\)，\(r/s\leq t/u\)，\(q,s,u>0\)とすると，\(ps\leq rq\)，\(ru\leq ts\)から \[psu\leq rqu\leq tsq\] となり，正の\(s\)を消去して\(pu\leq tq\)を得る．最後に分母を\(1\)とすれば，整数の大小関係と一致することが分かる．
任意の\(x,y,z\in\mathbb Q\)について， \[x\leq y\Longleftrightarrow x+z\leq y+z\] が成り立つ．また，\(z>0\)ならば \[x<y\Longleftrightarrow xz<yz\] が成り立つ．
命題 11.15 の証明
\(x=p/q\)，\(y=r/s\)，\(z=t/u\)を\(q,s,u>0\)となるように表す．加法については \[\begin{aligned} x+z\leq y+z &\Longleftrightarrow (pu+tq)su\leq(ru+ts)qu\\ &\Longleftrightarrow psu^2\leq rqu^2\\ &\Longleftrightarrow ps\leq rq\\ &\Longleftrightarrow x\leq y. \end{aligned}\] ここでは共通の項\(tqsu\)を消去し，さらに正の整数\(u^2\)を消去した．
\(z>0\)ならば\(t>0\)である．したがって \[\begin{aligned} xz<yz &\Longleftrightarrow ptsu<rtqu\\ &\Longleftrightarrow ps<rq\\ &\Longleftrightarrow x<y, \end{aligned}\] となる．2つ目の同値変形では正の整数\(tu\)を消去した．
\(a,b\in\mathbb Q\)，\(a<b\)とすると，\(a<c<b\)を満たす\(c\in\mathbb Q\)が存在する．
定理 11.16 の証明
\(c:=(a+b)/2\)とすれば，体の演算により\(c\in\mathbb Q\)である．また \[c-a=\frac{b-a}{2}>0,\qquad b-c=\frac{b-a}{2}>0\] なので\(a<c<b\)となる．
このように任意の異なる2元の間に別の元がある性質を稠密性という．自然数や整数には，例えば\(1\)と\(2\)の間に元がないので，この性質はない． \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q\)はいずれも可算無限であり，互いに全単射が存在するが，順序や演算の性質は異なる．
11.7 補足：実数と複素数
有理数は稠密であるが，それだけで数直線のすべての点を表せるわけではない．例えば，\(x^2=2\)を満たす有理数は存在しない．実際，正の解が存在すると仮定し，\(p,q>0\)かつ\(\gcd(p,q)=1\)となる整数\(p,q\)を用いて\(x=p/q\)と表す．すると\(p^2=2q^2\)なので\(p\)は偶数である．\(p=2k\)を代入すると\(q^2=2k^2\)となり\(q\)も偶数となる．これは\(\gcd(p,q)=1\)に矛盾する．負の解があればその符号を変えると正の解になるので，負の有理数にも解はない．
有理数の範囲では，上に有界な空でない部分集合であっても，上限が存在するとは限らない．例えば \[A:=\{q\in\mathbb Q:0\leq q,\ q^2<2\}\] は\(0\)を含み，\(2\)を上界に持つが，\(\mathbb Q\)の中には上限を持たない．
実際，有理数\(r\)が上限ならば\(r\geq1\)である．\(r^2<2\)の場合， \[h:=\frac{2-r^2}{2r+3}\] とおけば\(0<h<1\)であり，\(2rh+h^2<h(2r+3)=2-r^2\)なので\((r+h)^2<2\)となる．すると\(r+h\in A\)であり，\(r\)が上界であることに反する． \(r^2>2\)の場合には\(h:=(r^2-2)/(2r)>0\)とおくと，\(r-h=(r^2+2)/(2r)>0\)かつ\((r-h)^2=2+h^2>2\)である．任意の\(q\in A\)について\(q\geq0\)かつ\(q^2<2<(r-h)^2\)なので\(q<r-h\)である．したがって\(r-h\)も\(A\)の上界となり，\(r\)の最小性に反する．残る\(r^2=2\)の場合は，先ほど示した理由で不可能である．
実数の順序には，上に有界な空でない部分集合が必ず上限を持つという性質がある．これを完備性という．有理数から実数を構成する代表的な方法には，次の2つがある．
コーシー列による構成．有理数列\((a_n)\)がコーシー列であるとは，任意の正の有理数\(\varepsilon\)に対して，ある\(N\in\mathbb N\)が存在し，\(m,n\geq N\)ならば\(|a_m-a_n|<\varepsilon\)となることをいう．ここで\(|q|\)は\(q\geq0\)ならば\(q\)，\(q<0\)ならば\(-q\)である．数列の後ろの方の項どうしが，いくらでも近くなるという意味である． 2つのコーシー列\((a_n),(b_n)\)を，差が\(0\)に収束するとき同値とする．すなわち，任意の正の有理数\(\varepsilon\)に対して，ある\(N\in\mathbb N\)が存在し，\(n\geq N\)ならば\(|a_n-b_n|<\varepsilon\)となるときである．この同値類全体の集合として実数を構成する方法を，有理数の完備化という．同値関係の定義には，有理数の演算と順序だけを用いている．
デデキント切断による構成．空でなく\(\mathbb Q\)全体でもない部分集合\(L\subset\mathbb Q\)で，\(x\in L\)かつ\(y<x\)ならば\(y\in L\)となり，さらに\(L\)が最大元を持たないものを考える．\(L\)と\(\mathbb Q\setminus L\)による分割をデデキント切断といい，この切断全体の集合として実数を構成する．例えば有理数\(r\)は\(L=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\)に対応し，正の平方根\(\sqrt2\)に対応する切断は\(L=\{q\in\mathbb Q:q<0\ \text{または}\ q^2<2\}\)で与えられる．
いずれの構成でも，実数全体の集合\(\mathbb R\)には，完備性を持つ順序と，その順序と両立する体の演算を定めることができる．これを実数体 (field of real numbers)という．稠密性と完備性は異なる性質であり，有理数は前者を持つが後者を持たない．
実数が得られれば，複素数は実数の順序対で構成できる．集合として\(\mathbb C:=\mathbb R^2\)とおき， \[\begin{aligned} (a,b)+(c,d)&:=(a+c,b+d),\\ (a,b)(c,d)&:=(ac-bd,ad+bc) \end{aligned}\] と定義する．実数\(a\)を\((a,0)\)と同一視し，\(i:=(0,1)\)とおけば，\((a,b)=a+bi\)であり， \[i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\] となる．これは虚数単位を，その乗法規則も含めて構成したものである．また，\((a,b)\neq(0,0)\)ならば\(a^2+b^2>0\)であり， \[(a,b)^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\] が乗法の逆元となる．こうして得られる体を複素数体 (field of complex numbers)という．
複素数を係数とする次数\(n\geq1\)の多項式は，複素数の範囲で，重複を数えて\(n\)個の根を持つことが知られている．
ここで，多項式\(f\)の根とは\(f(a)=0\)を満たす数\(a\)のことである．例えば\((x-1)^2\)では根\(1\)を2回数える．一般に，因子\((x-a)\)が何回現れるかを根\(a\)の重複度という． その体を係数とする非定数の1変数多項式がすべてその体の中に根を持つ体を代数閉体 (algebraically closed field)という．この結果により\(\mathbb C\)は代数閉体である．一方，\(x^2+1\)は実数の根を持たないので，\(\mathbb R\)は代数閉体ではない．
自然数から整数への拡張では加法の逆元が，有理数への拡張では零でない元の乗法の逆元が得られる．実数の順序は完備性を満たし，複素数体は代数閉体である．これらの数の構成には，集合，写像，同値関係，商集合，順序，演算の性質が用いられる．