10. 整数
前の章では，自然数の集合\(\mathbb N\)を公理を使って定義し，さらに加法\(+\)，乗法\(\cdot\)の演算を定義し，それらの性質を調べた．その結果，普段から使っている自然数と，その中の加法と乗法は問題なく使用してよいことが分かった．本章では，自然数とその演算を用いて整数を定義する．
10.1 整数の定義
一旦，これまで使ってきた引き算を用いて，整数，特に負の整数がどのように表されるかを考える．例えば，\(-2\)は\(1-3\)と2つの自然数の引き算で表すことができる．さらに， \[-2=0-2=1-3=2-4=\cdots\] と，\(-2\)を表す自然数の組は無限に存在する．このような\((0,2),(1,3),(2,4),\ldots\)という順序対を同一視し，それを\(-2\)に対応させれば，\(-2\)を自然数だけを使って定義できそうである．同様に，どの整数も2つの自然数の組を使って定義できそうである．この同一視のために同値類を用いる．
それでは引き算を再び使わず，自然数の加法だけを用いて整数を定義する．
\(\mathbb N\times\mathbb N\)上の二項関係\(\sim_{\mathbb Z}\)を \[(a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}a+d=b+c\] と定める．右辺で使っているのは自然数の加法だけである．
\(\sim_{\mathbb Z}\)は同値関係である．
命題 10.2 の証明
\(a+b=b+a\)より反射律が成り立つ．\(a+d=b+c\)ならば\(c+b=d+a\)なので対称律も成り立つ． 推移律について，\((a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d)\)，\((c,d)\sim_{\mathbb Z}(e,f)\)とする．このとき\(a+d=b+c\)，\(c+f=d+e\)であるから \[(a+f)+d=(a+d)+f=(b+c)+f=b+(c+f)=(b+e)+d\] となる．自然数の加法の消去法則により\(a+f=b+e\)，すなわち\((a,b)\sim_{\mathbb Z}(e,f)\)である．
商集合 \[\mathbb Z:=(\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}\] を整数全体の集合といい，その元を整数という．\((a,b)\)の同値類を\([(a,b)]_{\mathbb Z}\)と書く．本章内では添字を省いて\([(a,b)]\)とも書く．
例えば，次の同値類が得られる． \[\begin{aligned} &=\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\},\\ [(1,0)]&=\{(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\},\\ [(0,1)]&=\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\},\\ [(2,0)]&=\{(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),\ldots\},\\ [(0,2)]&=\{(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),\ldots\}. \end{aligned}\] 図では，同じ斜めの列にある点が同じ同値類に属する．例えば，太線上の点はすべて\([(0,2)]\)を表す．
\([(a,b)]\)は差\(a-b\)に対応するが，構成上の整数は自然数の組そのものではなく，その同値類である．
10.2 整数の加法と乗法
自然数\(a,b,c,d\)を用いて，整数の代表元に対する次の規則を考える． \[\begin{aligned} +_{\mathbb Z}[(c,d)]&:=[(a+c,b+d)],\\ [(a,b)]\cdot_{\mathbb Z}[(c,d)]&:=[(ac+bd,ad+bc)]. \end{aligned}\] また，\(0_{\mathbb Z}:=[(0,0)]\)，\(1_{\mathbb Z}:=[(1,0)]\)とおく．
右辺の代表元の成分を計算している\(+\)と\(\cdot\)は，自然数の演算である．左辺の\(+\)と\(\cdot\)は，これから整数上に定めようとする演算を表している． これらの式は，通常の整数の計算式 \[(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d),\qquad (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)\] に対応する．上の規則では，自然数の加法と乗法だけで右辺の順序対を定めている．
\([(0,2)]\)と\([(3,0)]\)について上の規則で計算すると \[\begin{aligned} +[(3,0)] &=[(0+3,2+0)]=[(3,2)]=[(1,0)],\\ [(0,2)]\cdot[(3,0)] &=[(0\cdot3+2\cdot0,\,0\cdot0+2\cdot3)]=[(0,6)] \end{aligned}\] となる．差の記法でいえば，それぞれ\((-2)+3=1\)，\((-2)\cdot3=-6\)に対応する計算である．
同じ整数を別の代表元で表すと， \[[(0,2)]=[(1,3)],\qquad [(3,0)]=[(4,1)]\] なので，両方の代表元を\((1,3)\)と\((4,1)\)に取り替えると， \[\begin{aligned} +[(4,1)]&=[(5,4)],\\ [(1,3)]\cdot[(4,1)]&=[(1\cdot4+3\cdot1,\,1\cdot1+3\cdot4)]=[(7,13)] \end{aligned}\] となる．結果の組は先ほどと異なるが，\(5+2=4+3\)，\(7+6=13+0\)より \[[(5,4)]=[(3,2)],\qquad [(7,13)]=[(0,6)]\] である．したがって，この場合は代表元を取り替えても，和と積はそれぞれ同じ整数を表している．
しかし，代表元を使った計算の規則が，いつでもこの性質を持つとは限らない．第5章で見たように，分数の分子どうし・分母どうしを足す規則を\(\star\)で表すと， \[\frac13\star\frac12=\frac25,\qquad \frac26\star\frac12=\frac38\] となる．\(\frac13=\frac26\)なのに結果が異なるので，この規則は代表元の選び方に依存し，有理数上の演算としてwell-definedではない．個々の代表元で計算できることと，同値類の演算を定義できることは別である．
これに対して，上の2つの規則では，代表元の選び方によらず結果が定まる．これは任意の代表元について成り立つ．
上の2つの規則は，代表元の選び方に依存しない．すなわち，整数上の演算としてwell-definedである．
定理 10.4 の証明
\((a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b')\)，\((c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d')\)とする．すなわち， \[a+b'=b+a',\qquad c+d'=d+c'\] である．両方の代表元を取り替えても，和と積を表す組がそれぞれ同値になることを示す．
加法については， \[\begin{aligned} (a+c)+(b'+d') &=(a+b')+(c+d')\\ &=(b+a')+(d+c')\\ &=(b+d)+(a'+c') \end{aligned}\] なので，\((a+c,b+d)\sim_{\mathbb Z}(a'+c',b'+d')\)となる．
乗法については， \[(ac+bd)+(a'd'+b'c')=(ad+bc)+(a'c'+b'd')\] を示せばよい．自然数\(k:=ad'+bc'\)を両辺に加えて計算すると，分配律と仮定より \[\begin{aligned} (ac+bd)+(a'd'+b'c')+k &=a(c+d')+b(d+c')+a'd'+b'c'\\ &=a(d+c')+b(c+d')+a'd'+b'c'\\ &=ad+bc+c'(a+b')+d'(b+a')\\ &=ad+bc+c'(b+a')+d'(a+b')\\ &=(ad+bc)+(a'c'+b'd')+k \end{aligned}\] となる．自然数の加法の消去法則によって\(k\)を消去すれば，求める等式を得る．したがって， \[(ac+bd,ad+bc)\sim_{\mathbb Z}(a'c'+b'd',a'd'+b'c')\] である．以上より，加法と乗法はいずれも両方の代表元の選び方に依存しない．
したがって，上の式によって\(\mathbb Z\)上の加法と乗法が定義される．以後，混乱がない場合には整数の演算の添字を省く．
任意の\(x,y,z\in\mathbb Z\)に対して，次が成り立つ．
\(x+(y+z)=(x+y)+z\)，\(x+y=y+x\)，\(x+0_{\mathbb Z}=0_{\mathbb Z}+x=x\)．
\(x(yz)=(xy)z\)，\(xy=yx\)，\(x1_{\mathbb Z}=1_{\mathbb Z}x=x\)．
\(x0_{\mathbb Z}=0_{\mathbb Z}x=0_{\mathbb Z}\)．
\(x(y+z)=xy+xz\)，\((x+y)z=xz+yz\)．
また，加法と乗法の単位元はそれぞれ一意である．
定理 10.5 の証明
\(x=[(a,b)]\)，\(y=[(c,d)]\)，\(z=[(e,f)]\)とする．加法の結合律は両辺が\([(a+c+e,b+d+f)]\)となることから従う．交換律と加法の単位元も，成分ごとの計算から従う．
乗法の結合律については，両辺の代表元を展開すると，いずれも \[(ace+adf+bcf+bde,\ acf+ade+bce+bdf)\] となる．乗法の交換律は定義式の対称性から，単位元と零との積については \[[(a,b)][(1,0)]=[(a,b)],\qquad [(a,b)][(0,0)]=[(0,0)]\] から従う．分配律の前半では，両辺の代表元はともに \[(ac+ae+bd+bf,\ ad+af+bc+be)\] となる．後半は乗法の交換律から従う．単位元の一意性は，それぞれ\(0_{\mathbb Z}\)または\(1_{\mathbb Z}\)を代入すれば分かる．
10.3 自然数の埋め込み
写像 \[\iota:\mathbb N\to\mathbb Z,\qquad n\mapsto[(n,0)]\] は単射であり，自然数の加法と乗法を保つ．すなわち， \[\iota(n+m)=\iota(n)+\iota(m),\qquad \iota(nm)=\iota(n)\iota(m)\] が成り立つ．
命題 10.6 の証明
\([(n,0)]=[(m,0)]\)ならば\(n+0=0+m\)より\(n=m\)なので単射である．演算を保つことは \[[(n,0)]+[(m,0)]=[(n+m,0)],\qquad [(n,0)][(m,0)]=[(nm,0)]\] から従う．
このような，構造を保つ単射によって元の集合を新しい集合の中に入れることを埋め込みという．自然数\(n\)と整数\(\iota(n)\)は構成上は異なる対象だが，この埋め込みを通して同一視する．以下では，整数\(\iota(n)\)を単に\(n\)と書く．特に，\(\iota(0)=0_{\mathbb Z}\)，\(\iota(1)=1_{\mathbb Z}\)なので，\(0_{\mathbb Z},1_{\mathbb Z}\)も単に\(0,1\)と書く．
10.4 整数の減法と符号
各整数\(x\)に対し，\(x+y=y+x=0\)を満たす整数\(y\)がただ1つ存在する．
定理 10.7 の証明
\(x=[(a,b)]\)に対して\(y=[(b,a)]\)とすれば \[x+y=[(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0\] となる．逆の順序の和も\(0\)である．この条件を満たす別の元\(z\)があれば \[y=y+0=y+(x+z)=(y+x)+z=0+z=z\] なので，一意である．
上の\(y\)を\(x\)の加法に関する逆元といい，\(-x\)と書く．整数の減法を \[x-y:=x+(-y)\] と定義する．特に，\(-[(a,b)]=[(b,a)]\)である．
この表示は代表元によらない．実際，\(a+d=b+c\)ならば\(b+c=a+d\)でもあるので，\((a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d)\)から\((b,a)\sim_{\mathbb Z}(d,c)\)が従う． 逆元の一意性から\(-(-x)=x\)であり， \[[(a,b)]-[(c,d)]=[(a+d,b+c)]\] となる．引き算は独立した基本演算ではなく，「加法の逆元を足すこと」として定まった．また\(x+y=x+z\)の両辺に\(-x\)を足せば\(y=z\)となるので，整数にも加法の消去法則が成り立つ．
任意の整数\([(a,b)]\)は，\([(n,0)]=\iota(n)\)または\([(0,n)]=-\iota(n)\)の形で表せる．これは\(a\)についての帰納法で示せる．\(a=0\)の場合はすでに後者の形である．また，\(a\)に対する主張がすべての\(b\)で成り立つと仮定する．\([(\mathrm S(a),b)]\)について，\(b=0\)ならば前者の形であり，\(b\neq0\)ならば\(b=\mathrm S(d)\)と書ける．加法の性質から \[[(\mathrm S(a),\mathrm S(d))]=[(a,d)]\] なので，帰納法の仮定を使えばよい．
同じ形での表示は\(\iota\)の単射性から一意である．また，\([(n,0)]=[(0,m)]\)ならば\(n+m=0\)より\(n=m=0\)なので，2つの形が重なるのは零の場合だけである．したがって， \[\mathbb Z=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots\}\] と表せる．例えば\(-1=[(0,1)]\)であり，\([(a,b)]=\iota(a)-\iota(b)\)も定義から確かめられる．
整数\(x,y\)に対して \[(-x)y=x(-y)=-(xy),\qquad (-x)(-y)=xy\] が成り立つ．
定理 10.9 の証明
分配律から\(xy+(-x)y=(x+(-x))y=0y=0\)である．逆元の一意性より\((-x)y=-(xy)\)となる．\(x(-y)\)についても同様である．これを2回用いれば \[(-x)(-y)=-(x(-y))=-(-(xy))=xy\] となる．
これらの等式は，加法の逆元と分配律から従う．
10.5 整数の乗法の消去法則
整数\(x,y\)について，\(xy=0\)ならば\(x=0\)または\(y=0\)である．したがって，\(z\neq0\)のとき\(xz=yz\)ならば\(x=y\)である．
命題 10.10 の証明
\(x,y\neq0\)ならば，前節の表示により，零でない自然数\(n,m\)を用いて\(x=\iota(n)\)または\(-\iota(n)\)，\(y=\iota(m)\)または\(-\iota(m)\)と書ける．したがって積は\(\iota(nm)\)または\(-\iota(nm)\)である．命題9.11より\(nm\neq0\)であり，\(\iota\)は単射なので\(xy\neq0\)となる．後半は\((x-y)z=0\)に前半を適用すればよい．
整数の中で乗法の逆元を持つのは\(1\)と\(-1\)だけである．実際，\(xy=1\)ならば上の表示とその一意性から，零でない自然数\(n,m\)が\(nm=1\)を満たす．\(n=\mathrm S(a)=1+a\)，\(m=\mathrm S(b)=1+b\)と書けば，分配律から\(nm=1+(a+b+ab)\)である．\(nm=1\)より，加法の消去法則で\(a+b+ab=0\)となるので\(a=b=0\)，すなわち\(n=m=1\)となる．
10.6 群と環
モノイド\((G,\circ)\)の単位元を\(e\)とする．\(a\in G\)に対して \[a\circ b=b\circ a=e\] を満たす\(b\in G\)を\(a\)の逆元という．すべての元が逆元を持つモノイドを群 (group)という．さらに交換律を満たす群を可換群またはアーベル群 (abelian group)という．
逆元は存在すれば一意である．実際，\(b,c\)がともに\(a\)の逆元ならば \[b=b\circ e=b\circ(a\circ c)=(b\circ a)\circ c=e\circ c=c\] となる．一般の群では交換律を仮定しない．「加法群」は加法を演算とする群を指す呼び方であり，可換性を表す「アーベル群」とは区別する．
\((\mathbb Z,+)\)はアーベル群である．一方，\((\mathbb N,+)\)では\(1\)の加法の逆元が存在しないので群ではない．\((\mathbb N,\cdot)\)と\((\mathbb Z,\cdot)\)では\(0\)に乗法の逆元がないので，やはり群ではない．また，整数では\(2\)にも乗法の逆元が存在しない． 集合\(X\)上の全単射全体は，合成を演算とすると群になる．単位元は恒等写像，逆元は逆写像である．
集合\(R\)と2つの演算\(+,\cdot\)について，\((R,+,\cdot)\)が環 (ring)であるとは，次の条件を満たすことをいう．
\((R,+)\)がアーベル群である．その単位元を\(0\)と書く．
\((R,\cdot)\)がモノイドである．その単位元を\(1\)と書く．
\(x(y+z)=xy+xz\)，\((x+y)z=xz+yz\)がすべての\(x,y,z\in R\)で成り立つ．
乗法も交換律を満たす環を可換環 (commutative ring)という．本書では乗法の単位元を持つものを環と呼ぶ．
\((\mathbb Z,+,\cdot)\)は可換環である．\((\mathbb N,+,\cdot)\)は，加法が群でないので環ではない． 実数を成分とする\(2\)次正方行列全体は，通常の行列の加法と乗法により環となる．乗法の単位元は単位行列であるが，例えば \[A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\] に対して\(AB=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)\)，\(BA=\left(\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)\)なので，可換環ではない．
環では加法・減法・乗法を扱えるが，除法がいつでもできるとは限らない．また，零でない2元の積が零になる環もある．例えば上の行列\(A\)は\(A\neq0\)なのに\(A^2=0\)である．したがって，命題10.10は環の公理だけから従う性質ではない．
\(0\neq1\)を満たす可換環\(R\)が，任意の\(x,y\in R\)について \[xy=0\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{または}\ y=0\] を満たすとき，\(R\)を整域 (integral domain)という．
整数の環\(\mathbb Z\)は，命題10.10により整域である．整域では\(z\neq0\)かつ\(xz=yz\)ならば\((x-y)z=0\)より\(x=y\)となり，乗法の消去法則が成り立つ．ただし，乗法の消去法則が成り立っても，零でない元がすべて乗法の逆元を持つとは限らない．例えば，\(2x=1\)を満たす整数\(x\)は存在しない．
10.6.1 補足：代数系の例
群は，図形の対称変換やルービックキューブの操作の合成にも現れる．環の例には，整数の環，正方行列の環，多項式の環がある．整数の素因数分解と，有理数や実数を係数とする1変数多項式の既約因子分解に共通する性質は，一意分解整域という種類の環で扱われる．ここで正の次数を持つ多項式が既約であるとは，正の次数を持つ2つの多項式の積に分解できないことをいう．