1.1：整数の割り算
整数の性質を考える上で，割り算の「余り」を考えることは非常に重要である．まずは整数上の「割り算」を厳密に定義することからはじめる．ただし，ここで考えたいのは「$5 \div 2=2.5$」のように小数点以下まで考える割り算ではなく，「$5 \div 2=2余り1$」のように，小学生の頃学習した「余りのある割り算」である．定義 1.1
整数$n$を整数$d (\neq 0)$で割るとは，整数の組$(q,r)$で条件
を満たすものを見つけることである．特に，$q$をこの割り算の商，$r$を余りという．
すると，上で述べた「$5 \div 2=2余り1$」という割り算は$n=5,d=2$に対して，$(q,r)=(2,1)$という整数の組を見つけることを意味している．特に，$5=2 \times 2 +1$という表示がこの割り算では重要となる．またこの定義を使えば，負の整数の割り算に関しても「余り」を定義することができる．ただし，「余り」がいつでも非負になることに注意する．例えば，$-7$を$-3$で割ると，$-7=(-3) \times 2+(-1)$という表示があるが，$-1$は余りではない．$-7=(-3) \times 3+2$という表示の$2$が余りとなる．
さて，小学校の頃を思い出すと，整数の割り算では，商も余りも必ず存在し，さらにその答えが一つ（一意的）であった． この性質は割り算において非常に重要である．これを証明する．
定理 1.2 (剰余の定理)
整数$n$と整数$d (\neq 0)$に対し，整数の組$(q,r)$で条件
を満たすものが一意的に存在する．
証明
$d \neq 0$なので，
ある整数$q$で$|d| q \leq n \lt |d|(q+1)$
となるものが存在する．$r=n-|d|q$とすると，$0 \leq r \lt |d|$である．$d > 0$の場合はこの$(q,r)$は条件(1)，(2)を満たす．
一方，$d \lt 0$の場合は，$q$を$-q$に取り替えることによって$(q,r)$が条件(1)，(2)を満たす．
よって条件(1)，(2)を満たす整数の組$(q,r)$がいつでも存在する．
次に一意性を言うために，$(q,r)$と$(q',r')$がともに条件(1)，(2)を満たす整数の組とする． このとき，$n=dq+r=dq'+r'$なので，$d(q-q')=r'-r$が従う． $0 \leq r \lt |d|$および$0 \leq r' \lt |d|$から \[-|d| \lt r'-r \lt |d|\] が成り立つ．特に，\[0 \leq |r'-r| \lt |d|\]である． したがって， \[ 0 \leq |d| \cdot |q-q'| \lt |d| \] から \[ 0 \leq |q-q'|\lt 1 \] となるが，$q-q'$は整数なので，$q-q'=0$，つまり$q=q'$が得られる．上の等式に代入することで，$r'-r=0$，つまり$r=r'$も得られ，一意性が示された．
次に一意性を言うために，$(q,r)$と$(q',r')$がともに条件(1)，(2)を満たす整数の組とする． このとき，$n=dq+r=dq'+r'$なので，$d(q-q')=r'-r$が従う． $0 \leq r \lt |d|$および$0 \leq r' \lt |d|$から \[-|d| \lt r'-r \lt |d|\] が成り立つ．特に，\[0 \leq |r'-r| \lt |d|\]である． したがって， \[ 0 \leq |d| \cdot |q-q'| \lt |d| \] から \[ 0 \leq |q-q'|\lt 1 \] となるが，$q-q'$は整数なので，$q-q'=0$，つまり$q=q'$が得られる．上の等式に代入することで，$r'-r=0$，つまり$r=r'$も得られ，一意性が示された．
補足 1.3
足し算，引き算，掛け算ができる集合を環という．もちろん整数の集合$\mathbb{Z}$は環である．環の中でも「余りを考慮した割り算」ができる環をユークリッド環という．他の例として，実数係数の（1変数）多項式全体の集合$\mathbb{R}[x]$はユークリッド環である（高校数学の多項式の割り算を思い出そう）．このユークリッド環が後々見る整数の性質と深く関わっている．
次に整数に関する幾つかの用語を定義していく．
定義 1.4
整数$n$が整数$d (\neq 0)$の倍数である（または$d$は$n$の約数である）とは，ある整数$x$が存在して，$n=dx$と書けるときにいう．これは，$n$を$d$で割ったときの余りが$0$となることと同値である．このとき，$d$は$n$を割り切るといい，$d |n$と書く．$d$が$n$を割り切らないときは$d \nmid n$と書く．
例えば，$2 | 6$，$2 \nmid 5$，$-3 | 6$である．
補足 1.5
任意の整数$0 \neq d \in \mathbb{Z}$に対して，$0=0\cdot d$であるので，$d$は$0$の約数である．つまり$d | 0$がいつでも成り立つ．
定義1.6
整数$a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{Z}$を考える．ただし少なくとも1つは$0$でないとする．
例えば，$\gcd(-3,6,-9)=3, {\rm lcm}(-6,9)=18$である．また$\gcd(2,4)=2$なので，$2$と$4$は互いに素ではないが，$\gcd(2,3,4)=1$なので，$2,3,4$は互いに素である．
- 整数$d$が$a_1,\ldots,a_n$の公約数であるとは，任意の$1 \leq i \leq n$に対して$d | a_i$が成り立つときにいう．公約数のうち最大のものを最大公約数 (greatest common divisor)といい，$\gcd(a_1,\ldots,a_n)$と書く．特に，$\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$のとき，整数$a_1,\ldots,a_n$は互いに素という．
- 整数$\ell$が$a_1,\ldots,a_n$の公倍数であるとは，任意の$1 \leq i \leq n$に対して，$a_i | \ell$が成り立つときにいう．正の公倍数のうち最小のものを最小公倍数 (least common multiple)といい，${\rm lcm}(a_1,\ldots,a_n)$と書く．