1.2：イデアル
次にイデアルという概念を考える． $0$でない整数$a$に対し，$a$の倍数全体の集合を$a\mathbb{Z}:=\{ a x : a \in \mathbb{Z}\}$と書く．また$0$でない 整数$a,b$に対し， \[ a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}:=\{ax+by : x,y \in \mathbb{Z}\} \] と定義する．定義 1.7
$a,b$を$0$でない整数とする．このとき，$a\mathbb{Z}$を$a$で生成されるイデアルといい，$\langle a\rangle$と書く．また$a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$を$a$と$b$で生成されるイデアルといい，$\langle a,b\rangle$と書く．
例えば，$\langle 1 \rangle =1 \mathbb{Z} =\{1 \cdot x : x \in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$である．同様に，$\langle -1 \rangle=(-1) \mathbb{Z} =\{-1 \cdot x : x\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$である．したがって，$\langle 1 \rangle = \langle -1 \rangle$がわかる．一般に，整数$a \in \mathbb{Z}$に対し，$\langle a \rangle = \langle -a \rangle$が成り立つ（証明せよ）．
さて，上の定義では2つの整数で生成されるイデアルを定義したが，実際にはこれは，ある1つの整数で生成されるイデアルと一致する．
定理 1.8
$0$でない整数$a,b$に対して，$\langle a, b \rangle = \langle m \rangle$となる正の整数$m$が存在する．
証明
$\langle a, b \rangle$に含まれるものの中で最小の自然数を$m$とする．
つまり，
\[
m:=\min\{ z \in \mathbb{N} : z \in \langle a, b \rangle\}
\]
である．
以下，この$m$に対し$\langle a, b \rangle = \langle m \rangle$を示す．
（$\subset$）$z \in \langle a, b\rangle$とする．このとき，整数$x,y \in \mathbb{Z}$を用いて$z=ax+by$と書ける．$m > 0 $なので，$z$は$m$で割ることができ，その商と余りをそれぞれ$q,r$とする．つまり， \[ z=mq+r, \] ただし$0 \leq r \lt m$である． $m \in \langle a,b \rangle$より，整数$x',y' \in \mathbb{Z}$を用いて$m=ax'+by'$と表せる． すると， \begin{align*} r=z-mq=(ax+by)-(ax'+by')q=a(x-x'q)+b(y-y'q) \end{align*} である． $x-x'q,y-y'q \in \mathbb{Z}$より，$r \in \langle a, b \rangle$であることがわかる．すると$m$の最小性から$r=0$が従う．つまり，$z=mq$となり$z \in \langle m \rangle$がわかる．よって$\langle a, b \rangle \subset \langle m \rangle$が成り立つ．
（$\supset$）$z \in \langle m \rangle$とする．このとき，整数$k$を用いて$z=mk$と書ける． また$m \in \langle a, b \rangle$から，整数$x,y$を用いて$m=ax+by$と書ける． すると $z=(ax+by)k=a(xk)+b(yk)$となり，$xk,yk \in \mathbb{Z}$から$z \in \langle a, b \rangle$がわかる． よって$\langle a, b \rangle \supset \langle m \rangle$が成り立つ．
以上より，$\langle a, b \rangle = \langle m \rangle$が示された．
定理 1.8の$m$は証明から\[
m=\min\{ z \in \mathbb{N} : z \in \langle a, b \rangle\}
\]であることがわかるが，この $m$はどう見つければいいのだろうか．実は，$a,b$から簡単に計算することができる．
（$\subset$）$z \in \langle a, b\rangle$とする．このとき，整数$x,y \in \mathbb{Z}$を用いて$z=ax+by$と書ける．$m > 0 $なので，$z$は$m$で割ることができ，その商と余りをそれぞれ$q,r$とする．つまり， \[ z=mq+r, \] ただし$0 \leq r \lt m$である． $m \in \langle a,b \rangle$より，整数$x',y' \in \mathbb{Z}$を用いて$m=ax'+by'$と表せる． すると， \begin{align*} r=z-mq=(ax+by)-(ax'+by')q=a(x-x'q)+b(y-y'q) \end{align*} である． $x-x'q,y-y'q \in \mathbb{Z}$より，$r \in \langle a, b \rangle$であることがわかる．すると$m$の最小性から$r=0$が従う．つまり，$z=mq$となり$z \in \langle m \rangle$がわかる．よって$\langle a, b \rangle \subset \langle m \rangle$が成り立つ．
（$\supset$）$z \in \langle m \rangle$とする．このとき，整数$k$を用いて$z=mk$と書ける． また$m \in \langle a, b \rangle$から，整数$x,y$を用いて$m=ax+by$と書ける． すると $z=(ax+by)k=a(xk)+b(yk)$となり，$xk,yk \in \mathbb{Z}$から$z \in \langle a, b \rangle$がわかる． よって$\langle a, b \rangle \supset \langle m \rangle$が成り立つ．
以上より，$\langle a, b \rangle = \langle m \rangle$が示された．
定理 1.9
$0$でない整数$a,b$に対して\[
d:=\gcd(a,b)=\min\{ z \in \mathbb{N} : z \in \langle a, b \rangle\}
\]
である．特に，$\langle a,b \rangle = \langle d \rangle$である．
証明
まず$\langle a,b \rangle \subset \langle d \rangle$を示す．$z \in \langle a,b \rangle$とする．このとき，整数$x,y \in \mathbb{Z}$を用いて$z=ax+by$と書ける．
$\gcd(a,b)=d$から整数$a',b'$を使って$a=a'd,b=b'd$と表すことができる．
すると，
$z=a'dx+b'dy=d(a'x+b'y)$となり，$a'x+b'y$は整数であるから，$z \in \langle d \rangle$がわかる．よって$\langle a,b \rangle \subset \langle d \rangle$である．
次に$m=\min\{ z \in \mathbb{N} : z \in \langle a, b \rangle\}$とする．定理の証明には$m=d$を示せばよい． 定理 1.8の証明から$\langle a,b \rangle = \langle m \rangle$となる． すると$\langle m \rangle = \langle a,b \rangle \subset \langle d \rangle$となる．つまり$m\mathbb{Z} \subset d \mathbb{Z}$，特に$d | m$である．よって$m,d >0$より$m \geq d$が成り立つ．一方，$a,b \in \langle a, b \rangle = \langle m \rangle$より整数$a',b'$を用いて$a=a'm, b=b'm$と書ける．よって$m$は$a$と$b$の公約数である．$d$は$a$と$b$の最大公約数であったので，$m \leq d$が成り立つ．以上より$m=d$である．
次に$m=\min\{ z \in \mathbb{N} : z \in \langle a, b \rangle\}$とする．定理の証明には$m=d$を示せばよい． 定理 1.8の証明から$\langle a,b \rangle = \langle m \rangle$となる． すると$\langle m \rangle = \langle a,b \rangle \subset \langle d \rangle$となる．つまり$m\mathbb{Z} \subset d \mathbb{Z}$，特に$d | m$である．よって$m,d >0$より$m \geq d$が成り立つ．一方，$a,b \in \langle a, b \rangle = \langle m \rangle$より整数$a',b'$を用いて$a=a'm, b=b'm$と書ける．よって$m$は$a$と$b$の公約数である．$d$は$a$と$b$の最大公約数であったので，$m \leq d$が成り立つ．以上より$m=d$である．
系 1.10
$a,b$を$0$でない整数とし，$d=\gcd(a,b)$とする．このとき，ある整数$x,y$で
\[
ax+by=d
\]
となるものが存在する．
証明
$d \in \langle d \rangle$と定理 1.9から従う．
この系を使って一つ命題を証明する．
命題 1.11
$0$でない整数$n$と整数$a,b$が$n | ab$を満たすとする．もし$n$と$a$が互いに素なら
$n | b$が成り立つ．
証明
$ n |ab$から整数$m$を使って$ab=nm$と書ける．
仮定から$n$と$a$は互いに素，つまり$\gcd(n,a)=1$なので，系 1.10より$nx+ay=1$を満たす整数解$(x,y)$が存在する．この等式の両辺を$b$倍すると
\[
nbx+aby=b
\]
であり，$ab=nm$から$b=nbx+nmy=n(bx+my)$となる．これより$n | b$が従い証明が完了した．
補足 1.12
本来のイデアルの定義を書いておく．空でない$\mathbb{Z}$の部分集合$I$がイデアルであるとは，条件
-
$a,b \in I$ならば$a+b \in I$，
-
$a \in I$かつ$x \in \mathbb{Z}$ならば$ax \in I$