2.5：剰余類
同値関係を扱うときは，同値類や商集合を用いることで，議論が進みやすくなる．一般の同値関係の同値類や商集合の話は後にして，ここでは合同式に対する同値類である剰余類について考える．定義 2.20
$m$を自然数とする．整数$a$に対し，$x \equiv_m a$を満たす整数全体の集合を$a+m\mathbb{Z}$で表し，法$m$に関する$a$の剰余類という．つまり，
\[
a+m\mathbb{Z}:=\{ x \in \mathbb{Z} : x \equiv_m a\} \subset \mathbb{Z}
\]
である．ここで$0+m\mathbb{Z}$は$m\mathbb{Z}$のことである．文脈から$m$が明らかな場合は，$\overline{a}$と書くことが多い．つまり，$\overline{a}=a+m\mathbb{Z}$である．また剰余類全体の集合を$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$と書く．つまり，
\[
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{ \overline{a} : a\in \mathbb{Z}\}
\]
である．
補足 2.21
合同式$\equiv_m$を$\mathbb{Z}$上の同値関係としてみると，剰余類$a+m\mathbb{Z}$は同値類$[a]_{\equiv_m}$のことであり，$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$は商集合$\mathbb{Z}/{\equiv_m}$のことに他ならない．
例えば，$m=3$のとき，
\begin{align*}
\overline{-1}=-1+3\mathbb{Z}&=\{\ldots,-4,-1,2,5,\ldots\},\\
\overline{0}=0+3\mathbb{Z}&=\{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\},\\
\overline{1}=1+3\mathbb{Z}&=\{\ldots,-2,1,4,7,\ldots\},\\
\overline{2}=2+3\mathbb{Z}&=\{\ldots,-4,-1,2,5,\ldots\}
\end{align*}
となる．特に，$\overline{-1}=\overline{2}$である．
剰余類の簡単な性質を見ていく．
命題 2.22
自然数$m$を固定する．整数$a,b$について以下は同値である．
証明
(1), (2), (3)の同値性のみ示し，(4), (5)は演習問題とする．
((1)$\Rightarrow$(2)) 一般に，任意の整数$x$に対し$x \in \overline{x}$であるので$\overline{x} \neq \emptyset$である．よって$\overline{a}=\overline{b}$から$\overline{a} \cap \overline{b}=\overline{a} \cap \overline{a}=\overline{a} \neq \emptyset$が従う．
((2)$\Rightarrow$(3)) $x \in \overline{a} \cap \overline{b}$をとる．このとき，$x \equiv_m a$かつ$x \equiv_m b$であるので，$a \equiv_m b$が従う．
((3)$\Rightarrow$(1)) $x \in \overline{a}$を任意にとると，$x \equiv_m a$である．すると$a \equiv_m b$から$x \equiv_m b$となるので，$x \in \overline{b}$がわかる．よって$\overline{a} \subset \overline{b}$である．同様に，$\overline{a} \supset \overline{b}$もわかるので$\overline{a}=\overline{b}$が従う．
命題 2.22からわかる通り，もとの整数は違えど，その剰余類が同じになることは多い．
例えば，$-1+3\mathbb{Z}=2+3\mathbb{Z}$であった．この場合，$-1+3\mathbb{Z}$か$2+3\mathbb{Z}$のどちらかの表記に統一した方が便利である．こういった考え方が代表元である．
((1)$\Rightarrow$(2)) 一般に，任意の整数$x$に対し$x \in \overline{x}$であるので$\overline{x} \neq \emptyset$である．よって$\overline{a}=\overline{b}$から$\overline{a} \cap \overline{b}=\overline{a} \cap \overline{a}=\overline{a} \neq \emptyset$が従う．
((2)$\Rightarrow$(3)) $x \in \overline{a} \cap \overline{b}$をとる．このとき，$x \equiv_m a$かつ$x \equiv_m b$であるので，$a \equiv_m b$が従う．
((3)$\Rightarrow$(1)) $x \in \overline{a}$を任意にとると，$x \equiv_m a$である．すると$a \equiv_m b$から$x \equiv_m b$となるので，$x \in \overline{b}$がわかる．よって$\overline{a} \subset \overline{b}$である．同様に，$\overline{a} \supset \overline{b}$もわかるので$\overline{a}=\overline{b}$が従う．
定義 2.23
$m$を自然数とする．$x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$に対して，$x=\overline{a}$となる整数$a$を$x$の代表元という．
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$の各剰余類は代表元を$0$から$m-1$の整数から選ぶことができる．
命題 2.24
$m$を自然数とすると，
\[
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{ \overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}\}
\]
である．特に，$|\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}|=m$である．
証明
\[
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \supset \{ \overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}\}
\]
は明らかなので逆の包含関係を示す．
任意の剰余類$x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$をとる．
このとき，ある整数$a$を使って$x=\overline{a}$と書ける．
$a$を$m$で割ったときの商と余りを$q,r$とする．つまり，$a=qm+r$で$0 \leq r \lt m$を満たす．
すると，$a-r = qm$なので，$a \equiv_m r$がわかる．よって，$x=\overline{a}=\overline{r}$であり，$0 \leq r \lt m$から$x \in \{ \overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}\}$が従い， $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \subset \{ \overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}\}$が成り立つ．
また任意の整数$0 \leq a \lt b \leq m-1$に対して，$a \not\equiv_m b$なので，$|\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}|=m$が従う．
もちろん，$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}=\{\overline{-3},\overline{-2},\overline{-1},\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline
{3}\}$のように書くこともできるが，重要なのは剰余類が$7$個だけということである．
次に特殊な剰余類の集合を考える．
定義 2.25
$m$を$2$以上の自然数とする．剰余類$\overline{a} \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $ ($a \in \mathbb{Z}$) に対して，$\gcd(a,m)=1$を満たすものを，法$m$の既約剰余類と呼ぶ．
また既約剰余類の集合を\begin{align*}
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}&=\{\overline{a} \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} : a \in \mathbb{Z}, \gcd(a,m)=1\}\\
&=\{\overline{a} \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} : 0 \leq a \leq m-1, \gcd(a,m)=1\}
\end{align*}
と書く．
例えば，$(\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1}\}, (\mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{2}\}$であり，$(\mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{5} \}$である．
この既約剰余類の個数を考えていく．
定義 2.26
自然数$m \geq 2$に対し，$\phi(m)$を$m$と互いに素な整数$1 \leq a \leq m-1$の個数を表す関数とする．つまり，$\phi(m)= (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$である．
この関数$\phi$をオイラー関数という．
上の例から$\phi(2)=1,\phi(3)=2,\phi(6)=2$となっている．
一般にフェルマーの小定理は素数$p$でなければ成り立たない場合がある．実際， \[ 5^{6-1} \equiv_6 5 \not\equiv_6 1 \] である．つまり，フェルマーの小定理をそのまま整数$m$に拡張することはできない． 一方，素数$p$に対し，$\phi(p)=p-1$が成り立つ．よってフェルマーの小定理は$p$と互い素な整数$a$に対して \[ a^{\phi(p)} \equiv_p 1 \] が成り立つと見ることができる． 実はこの表示として考えれば，より一般の自然数に対してフェルマーの小定理を拡張することができる．
定理 2.27 (オイラーの定理)
自然数$m \geq 2$と$m$と互いに素な整数$a$に対して，
\[
a^{\phi(m)} \equiv_m 1
\]
が成り立つ．
例えば，$\phi(6)=2$なので，
\[
5^2 \equiv_6 1
\]
である．
この定理は直接証明することができるが，群を学習した後に，その応用で証明することにする．