4.1：部分群の定義
$(G,\circ)$を群とする．$G$の空でない部分集合$H$に対し， 写像 \[ {\circ|_H}: H \times H \to G, (a,b) \mapsto a \circ b \] を定義する．つまり，$G$の演算$\circ$を$H$の元のみで考えてることになるが，$a \circ b \notin H$となる可能性もあるので${\circ|_H}$が$H$上の演算になるとは限らない．もし${\circ|_H}$が$H$上の演算となる，つまり，${\circ|_H}: H \times H \to H$として定義でき，$(H,{\circ|_H})$が群となるとき，$H$を$G$の部分群 (subgroup)という． まず，部分群$H$の単位元や逆元が$G$から引き継がれることを見る．補題 4.1
$G$を群とし，$H$を$G$の部分群とする．
証明
(1) $e'$が$H$の単位元であるので，ある（任意の）$h \in H \subset G$に対し，
\[
a=a {\circ|_H} e'= a \circ e'
\]
が成り立つ．よって$G$の単位元の一意性から$e=e'$が従う．
(2) (1)から \[ e=a {\circ|_H} a'=a \circ a' \] である． $G$の逆元の一意性から$a^{-1}=a'$が従う．
この補題を使うことで以下の命題が示せる．
この命題を部分群の定義と思ってもよい．
(2) (1)から \[ e=a {\circ|_H} a'=a \circ a' \] である． $G$の逆元の一意性から$a^{-1}=a'$が従う．
命題 4.2
$G$を群とする．このとき，空でない部分集合$H \subset G$が$G$の部分群である必要十分条件は以下の条件を満たすときにいう．
- (H1) （逆元に関して閉じている）任意の$a \in H$に対し，$a^{-1} \in H$である．
- (H2) （演算に関して閉じている）任意の$a,b \in H$に対し，$a \circ b \in H$である．
証明
（$\Rightarrow$）$(H,{\circ|_H})$が$G$の部分群であるとする．このとき，${\circ|_H}$が$H$上の演算となるので，任意の$a,b \in H$に対し$a {\circ|_H} b \in H$となる．よって(H2)を満たす．また補題4.1から(H1)が従う．
（$\Leftarrow$）(H1)，(H2)を満たすとする．(H2)は$\circ |_H$が$H$上の演算として定義できることを意味している．このとき，$(H, {\circ|_H})$が(G1)，(G2)，(G3)を満たすことを言えばよい．$\circ$は結合律を満たすので，制限した${\circ|_H}$も結合律を満たす．よって(G1)が従う．また$H \neq \emptyset$より$a \in H$がとれる．このとき，(H1)から$a^{-1} \in H$である．さらに，(H2)から$a \circ a^{-1}=e \in H$である．$e$が$G$の単位元であることから，$e$が$H$の単位元になっていることが従う．よって(G2)が満たされる．再び(H1)より(G3)も満たされる．
以上から$(H,{\circ|_H})$は群となる．よって$H$は$G$の部分群である．
系 4.3
$G$を群とする．このとき，空でない部分集合$H \subset G$が$G$の部分群である必要十分条件は以下の条件を満たすときにいう．
- (H) 任意の$a ,b\in H$に対し，$a \circ b^{-1} \in H$である．
証明
(H1)，(H2)を満たすなら(H)を満たすことは明らか．(H)を満たすと仮定する．(H)の$a=b$のときを考えると，$a \circ a^{-1}=e \in H$である．よって$a=e$を考えると任意の$b \in H$に対し$b^{-1}=e \circ b^{-1} \in H$であるので(H1)を満たす．さらに，任意の$a,b^{-1} \in H$に対し，$a \circ b = a \circ (b^{-1})^{-1} \in H$であるので(H2)も満たす．
以降，$H$が群$(G,\circ)$の部分群のとき，$H$上の演算${\circ|_H}$を単に$\circ$と書くことにする．
例 4.4
$G$を群とする．このとき，$\{e\}$は明らかに$G$の部分群である．また自分自身$G$ももちろん$G$の部分群である．この2つの部分群を$G$の自明な部分群という．
例 4.5
群$(\mathbb{Z},+)$を考える．
(1) 任意の$n x,ny \in n\mathbb{Z}$ ($x,y \in \mathbb{Z}$)に対し，$nx+(-ny)=n(x-y)\in n\mathbb{Z}$である．
(2) 部分集合$H=\{2x+1 : x \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群ではない．これは$H$が(H1)，(H2)のいずれかの一つでも満たさないことを見ればよい．実際，$1, 3 \in H$だが$1+3=4 \notin H$なので(H2)を満たさない．
(1) 任意の$n x,ny \in n\mathbb{Z}$ ($x,y \in \mathbb{Z}$)に対し，$nx+(-ny)=n(x-y)\in n\mathbb{Z}$である．
(2) 部分集合$H=\{2x+1 : x \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群ではない．これは$H$が(H1)，(H2)のいずれかの一つでも満たさないことを見ればよい．実際，$1, 3 \in H$だが$1+3=4 \notin H$なので(H2)を満たさない．