4.2：巡回群
命題 4.2.1
群$G$と$a \in G$に対し，
集合\[
\langle a \rangle :=\{ a^n : n \in \mathbb{Z}\} \subset G
\]
を考える．このとき，$\langle a \rangle$は$G$の部分群である．
証明
任意の$x,y \in \langle a \rangle$をとる．
このとき，整数$n,m$を使って，$x=a^n,y=a^m$と書ける．$y$の逆元は$y^{-1}=a^{-m}$である．
このとき，
\[
x \circ y^{-1}=a^n \circ a^{-m}=a^{n-m}
\]
であり，$n-m \in \mathbb{Z}$なので$x \circ y^{-1} \in \langle a \rangle$となる．
よって(H)を満たすので，$\langle a \rangle$は$G$の部分群である．
定義 4.2.2
群$G$が巡回群 (cyclic group)であるとは，ある元$a \in G$で
\[
G=\langle a \rangle
\]
となるものが存在するときにいう．このとき，$a$を巡回群$G$の生成系という．
例 4.2.3
群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$と群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$を考える．
ここで，$\overline{a} \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$に対し，
\[
\langle \overline{a} \rangle=\{ n \cdot \overline{a} : n \in \mathbb{Z} \} \subset \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}
\]
であることに注意する．
まず$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$は$\overline{1}$を生成系とする巡回群である．
実際，\[\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0 \cdot \overline{1},1\cdot\overline{1},2\cdot\overline{1},3\cdot\overline{1}\}=\langle \overline{1} \rangle\]である．また$\overline{3}$も$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$の巡回群としての生成系となる．実際，\begin{align*}
& 1 \cdot \overline{3}=\overline{3},\\
&2 \cdot \overline{3}=\overline{2}, \\&3 \cdot \overline{3}=\overline{1}, \\&4 \cdot \overline{3}=\overline{0}
\end{align*} なので，
\[\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{1 \cdot \overline{3},2\cdot\overline{3},3\cdot\overline{3},4\cdot\overline{3}\}=\langle \overline{3} \rangle\]
である．これらから巡回群の生成系は一意的でないことがわかる．
一方，$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は巡回群ではない．
これを確かめる．整数$n \in \mathbb{Z}$と元$(\overline{a},\overline{b}) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$に対し，\[n \cdot (\overline{a},\overline{b}):=(n \cdot \overline{a},n \cdot \overline{b})\]と表記する．
すると，
\[
\langle (\overline{a},\overline{b}) \rangle =\{ n \cdot (\overline{a},\overline{b}) : n\in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\]
と表される．
このとき，
\[
2 \cdot (\overline{0},\overline{0})=2 \cdot (\overline{1},\overline{0})=2 \cdot (\overline{0},\overline{1})=2 \cdot (\overline{1},\overline{1})=(\overline{0},\overline{0})
\]
であるので，$n \cdot (\overline{1},\overline{0})=(\overline{0},\overline{1})$を満たす整数$n$は存在しない．よって$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \neq \langle (\overline{1},\overline{0}) \rangle$である．同様に，$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \neq \langle (\overline{0},\overline{1}) \rangle$と$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \neq \langle (\overline{1},\overline{1}) \rangle$もわかるので，$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は巡回群ではない．
$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$は巡回群であったが$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$はいつでも巡回群である．
命題 4.2.4
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$は巡回群である．
証明
整数$n$に対し，$n \cdot \overline{1}=\overline{n}$なので，
\[\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{ n \cdot \overline{1} : n \in \mathbb{Z} \}=\langle \overline{1} \rangle\]
となるから$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$は$\overline{1}$を生成系とする巡回群である．
一方で，$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$は巡回群になるとは限らない．
例 4.2.5
$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$を考える．このとき，$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7}\}$である．$\overline{1}^2=\overline{3}^2=\overline{5}^2=\overline{7}^2=\overline{1}$となっているので，例 4.2.3と同様に考えると$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$は巡回群にならないことがわかる．