5.2：同型写像と同型
準同型写像$f : G_1 \to G_2$により$G_2$の中で，$G_1$の群構造をある程度引き継いだ部分群${\rm Im}(f)$を見つけることができる．ということは，${\rm Im}(f)$が潰れずに，それが$G_2$全体，つまり，${\rm Im}(f)=G_2$となれば，$G_1$と$G_2$が同じ群構造を持つと思うことができる．命題 5.8からこれは$f$が全単射であることと同値である．こういった状況を群が「本質的に同じ」と考える．それでは正式な用語を使いこれらを定義する．定義 5.9
群$G_1,G_2$と準同型写像$f: G_1 \to G_2$を考える．$f$が同型写像 (isomorphism)であるとは，$f$が全単射となるときにいう．また$G_1$から$G_2$への同型写像が存在するとき，$G_1$は$G_2$と同型 (isomorphic)であるといい，$G_1 \cong G_2$と書く．
命題 5.10
$f: G_1 \to G_2$が同型写像であれば，その逆写像も同型写像である．したがって，$G_1$が$G_2$に同型ならば，$G_2$は$G_1$に同型である．よって単に$G_1$と$G_2$は同型であるといってよい．
証明
示すべきことは，$f^{-1}: G_2 \to G_1$が準同型写像であることである．任意の$a,b \in G_2$をとる．$f \circ f^{-1}={\rm id}_{G_2}$および$f$が準同型写像であることから
\[
f(f^{-1}(a) \circ_1 f^{-1}(b))=(f \circ f^{-1})(a) \circ_2 (f \circ f^{-1})(b)=a \circ_2 b=(f\circ f^{-1})(a \circ_2 b)=f(f^{-1}(a \circ_2 b))
\]
が成り立つ．よって$f$が単射であることから
\[
f^{-1}(a) \circ_1 f^{-1}(b)=f^{-1}(a \circ_2 b)
\]
が従う．よって$f^{-1}$は準同型写像である．
それでは例を見ていこう．
例 5.11
群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$と$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}$に対して，写像$f:\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$を
\[
\overline{0} \mapsto \overline{1}, \overline{1} \mapsto \overline{2},
\overline{2} \mapsto \overline{4}, \overline{3} \mapsto \overline{3},
\]
で定義する．手計算により$f$が準同型写像であることがわかる．また定義から明らかに$f$は全単射である．よって$f$は同型写像であるので，$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$と$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$は同型となることがわかった．実際，この2つの群の乗法表を書いてみると，全く同じ法則になっていることがわかる．これが同型の意味である．
次に位相が小さい群について見ていこう．
命題 5.12
$G$を位数$2$の有限群とする．このとき，
\[
G \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
\]
である．
証明
$G=\{e,g\}$とする．$G$の例 3.13の乗法表で定義されていることを思い出そう．写像$f: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to G$を$\overline{0} \mapsto e$と$\overline{1} \mapsto g$で定義する．このとき，$f$は同型写像である．実際，全単射性は定義から明らかで，準同型性は4通りを全て考えればよい．
この命題は，位数$2$の群構造はただ１つしかないことを意味する．したがって，位数$2$の群を考えるときは$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$として考えても問題ないことになる．
同様に以下の命題も簡単に示せる．
命題 5.13
$G$を位数$3$の有限群とする．このとき，
\[
G \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}
\]
である．
証明
演習問題とする．
位数が違えば，集合間に全単射写像は存在しないのでもちろん同型ではない．しかし，位数が同じであっても同型にならない群が存在する．
それが$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$と$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$である．この2つの群が同型でないことを定義通り見るためには$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$への同型写像がないことを示せばよい．今回の場合は位数が小さい有限群なのですべての可能性（写像）を考えればよいが，もっと大きい群の場合，この方法は現実的ではない．
同型というのは群として同じということだった．つまり，２つの群が違う性質を持てば同型でないことは想像できるだろう．実際，$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$は巡回群であり，$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$は巡回群でなかった．実は，この事実から，この2つの群が同型でないことがわかる．
命題 5.14
$G_1$と$G_2$が同型な群であるとする．このとき，$G_1$が巡回群であることと，$G_2$が巡回群であることは同値である．
証明
$f : G_1 \to G_2$を同型写像とする．このとき，${\rm Im}(f)=G_2$である．
よって命題 5.5より$G_1$が巡回群であれば$G_2$も巡回群である．$f^{-1}$を考えれば逆も示せる．
系 5.15
$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \not\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$である．