写像$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$を$f(x)=(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})$で定義する．このとき$f$は準同型である．実際，任意の$x,y \in \mathbb{Z}$に対し，$f(x+y)=(x+y+m\mathbb{Z},x+y+n\mathbb{Z})$であるが，$(x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z})=x+y+m\mathbb{Z}$かつ$(x+n\mathbb{Z})+(y+n\mathbb{Z})=x+y+n\mathbb{Z}$であるので， \begin{align*} f(x+y)&=(x+y+m\mathbb{Z},x+y+n\mathbb{Z})\\&=((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z}), (x+n\mathbb{Z})+(y+n\mathbb{Z}))\\&=(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z}) \circ (y+n\mathbb{Z},y+n\mathbb{Z})=f(x) \circ f(y) \end{align*} となる．ただし，$\circ$は$\mathbb{Z} / m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上の演算である．

$f$が全射であることを示す．任意の$(a+m\mathbb{Z},b+n\mathbb{Z}) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$をとる．$m,n$は互いに素なので$mx+ny=1$を満たす整数$x,y$が存在する．$c=mxb+nya$とおく．このとき， \begin{align*} c&=mxb+(1-mx)a=a+mx(b-a),\\ c&=(1-ny)b+nya=b+ny(a-b) \end{align*} であるので， \[ f(c)=(c+m\mathbb{Z},c+n\mathbb{Z})=(a+mx(b-a)+m\mathbb{Z}, b+ny(a-b)+n\mathbb{Z})=(a+m\mathbb{Z},b+n\mathbb{Z}) \]が従う．よって$f$は全射である．

${\rm Ker}(f)=mn\mathbb{Z}$を示す．${\rm Ker}(f) \supset mn\mathbb{Z}$は明らか．$a \in {\rm Ker}(f)$をとる．このとき， \[ f(a)=(a+m\mathbb{Z},a+n\mathbb{Z})=(m\mathbb{Z},n\mathbb{Z}) \] である．これは$a \equiv_m 0$と$a \equiv_n 0$を意味する．また$m,n$は互いに素なので，これより$a \equiv_{mn} 0$が従う．よって$a \in mn\mathbb{Z}$となる．したがって，${\rm Ker}(f) \subset mn\mathbb{Z}$なので，${\rm Ker}(f)=mn\mathbb{Z}$がわかる．

以上より，準同型定理から \[ \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} =\mathbb{Z}/{\rm Ker}(f) \cong {\rm Im}(f)=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \] を得る．

定理6.23の証明で定義した写像$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$から同型写像 \[\overline{f}: \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}; x+mn\mathbb{Z} \mapsto f(x)= (x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})\] が得られる．この写像を$(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^{\times}$に制限すると，その像は$(\mathbb{Z} / m\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$に含まれる．実際，$x + mn\mathbb{Z} \in (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^{\times}$をとると，これは$\gcd(x,mn)=1$であるので，$\gcd(x,m)=\gcd(x,n)=1$である． よって，$ (x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z}) \in (\mathbb{Z} / m\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} $となる． そこで，写像$F$を \[F : (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^{\times} \to (\mathbb{Z} / m\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}; x+mn\mathbb{Z} \mapsto (x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})\] で定義する． この写像$F$が同型写像であることを示せばよい．

（準同型写像）$F$と$\overline{f}$の定義は同じだが，群の演算が$+$ではなく$\cdot$なので準同型写像であることを確かめる必要がある．任意の$x+mn\mathbb{Z},y+mn\mathbb{Z} \in (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^{\times}$をとる． このとき，$(x+mn\mathbb{Z})\cdot (y+mn\mathbb{Z})=xy+mn\mathbb{Z}$であった．すると \begin{align*} F((x+mn\mathbb{Z})\cdot(y+mn\mathbb{Z}))&=F(xy+mn\mathbb{Z})=(xy+m\mathbb{Z},xy+n\mathbb{Z})\\&=((x+m\mathbb{Z})\cdot(y+m\mathbb{Z}), (x+n\mathbb{Z})\cdot(y+n\mathbb{Z}))\\&=(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z}) \circ (y+m\mathbb{Z},y+n\mathbb{Z})\\&=F(x+mn\mathbb{Z}) \circ F(y+mn\mathbb{Z}) \end{align*} である．ただし，$\circ$は$(\mathbb{Z} / m\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$上の演算である．よって$F$は準同型写像である．

（単射性）$\overline{f}$が単射なので$F$も単射である．

（全射性）任意の$(a+m\mathbb{Z},b+n\mathbb{Z}) \in (\mathbb{Z} / m\mathbb{Z})^{\times} \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$をとる． このとき，$\gcd(a,m)=\gcd(b,n)=1$である．定理6.23の証明と同様に$c$をとると， $\overline{f}(c+mn\mathbb{Z})=(a+m\mathbb{Z},b+n\mathbb{Z})$である．特に，$c \equiv_m a$かつ$c \equiv_n b$である．すると，$\gcd(a,m)=\gcd(b,n)=1$から$\gcd(c,mn)=1$が得られる． 実際，$\gcd(m,n)=1$から$\gcd(c,mn)=\gcd(c,m)\gcd(c,n)$である．$c \equiv_m a$から整数$q$を用いて$c-a=mq$，つまり$c=mq+a$と書けるが， \[ \gcd(c,m)=\gcd(a+mq,m)=\gcd(a,m)=1 \] であり，同様に$\gcd(c,n)=1$も示せるので$\gcd(c,mn)=1$である．よって，$c+mn\mathbb{Z} \in (\mathbb{Z} / mn\mathbb{Z})^{\times}$が成り立ち，$F(x+mn\mathbb{Z})=(a+m\mathbb{Z},b+n\mathbb{Z})$であるので，$F$は全射である．