8.1：シローの定理と有限アーベル群の構造定理
有限群の構造を調べるとき，まずその位数の素因数分解に注目するのが自然である． 実際，位数が素数の群は必ず巡回群となり， 非常に単純な構造をもつことをすでに見た． 一般の有限群に対しても， 位数に現れる素数ごとの構造を調べることで， 群の全体像を理解することができる． その基本となるのがシローの定理である．まず，シロー部分群の定義を与える．
定義 8.1.1
$G$を有限群，$p$を$|G|$の素因数とし，$|G|=p^r m$ （ただし$\gcd(p,m)=1$）と表す．
シローの定理は，
有限群の中に存在する $p$ 部分群の構造を詳しく記述するものであり，
有限群論の基本定理の一つである．
位数が$p$の冪である$G$の部分群を$G$の$p$部分群と呼ぶ．
位数が$p^r$の$G$の部分群を$G$のシロー$p$部分群と呼ぶ．
定理 8.1.2：シローの定理
$G$を有限群，$p$を$|G|$の素因数とし，$|G|=p^r m$ （ただし$\gcd(p,m)=1$）と表す．
このとき，以下が成り立つ．
シローの定理は一般の有限群に対する結果であるが，
特にアーベル群の場合には，
より強い分類結果が得られる．
次に，有限アーベル群の構造を完全に記述する定理を紹介する．
$G$のシロー$p$部分群は少なくとも一つ存在する．
$G$の任意の$p$部分群はあるシロー$p$部分群に含まれる．
$G$のシロー$p$部分群は全て互いに共役である．
$G$のシロー$p$部分群の個数を$n_p$とすると，\[ n_p\mid m,\qquad n_p\equiv_p 1 \]が成り立つ．
定理 8.1.3：有限アーベル群の構造定理
$G$を有限アーベル群とする．このとき，ある自然数$a_1,\ldots,a_t$と素数$p_1,\ldots,p_t$と同型
\[
G \cong \mathbb{Z}/p_1^{a_1} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p_2^{a_2}\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_t^{a_t}\mathbb{Z}
\]
が存在する（ここで$p_1,\ldots,p_t$には同じものが現れてもよい）．また$p_1^{a_1},\ldots,p_t^{a_t}$は順序を除いて一意的に定まる．
このテキストでは有限アーベル群の構造定理の証明は省略し，シローの定理の証明だけにとどめる．またシローの定理の証明は後にまわし，次の節ではその応用を見ていく．