位数が$p^r$となる$G$の部分集合全体の集合を$X$とする．このとき，$|X|=\binom{p^rm}{p^r}$である．まず，$|X|$が$p$で割り切れないことを示す． \begin{align*} \binom{p^r m}{p^r}&=\dfrac{(p^rm)!}{(p^r)!(p^{r}(m-1))!}\\ &=\dfrac{p^r m (p^r m-1) \cdots (p^r m-i) \cdots (p^rm-p^r+1)}{p^r(p^r-1)\cdots(p^r-i) \cdots 1} \end{align*} であり，$i=1,\ldots,p^r-1$に対して，$p^r m-i$と$p^r-i$の素因数分解に現れる$p$の冪は一致する．したがって，約分すると分母分子に$p$は現れない．したがって，$|X|$は$p$で割り切れない． 今，$G$は$X$に \[ g \bullet A:=gA:=\{ga : a \in A\} \quad (g \in G, A \in X) \] により作用する．この作用の軌道分解を考えると \[ |X|=\sum_{O \in {\rm Orb}(X)} |O| \] であり，$|X|$は$p$の倍数ではないので，少なくとも１つの$O \in {\rm Orb}(X)$に対し，$|O|$は$p$の倍数ではない．$O=gA$とする（$A \in X$）．このとき，$|O|=|G|/|G_A|$である．ここで，$G_A$は$A$の安定化群 \[ G_A=\{g \in G : gA=A\} \] である．$|O|$は$p$で割り切れないので， \[ \frac{p^rm}{|G_A|} \] が$p$で割り切れないことになる． したがって，$|G_A|$に含まれる$p$の冪は ちょうど$p^r$である． すなわち$|G_A|$は$p^r$の倍数である． 今，$a \in A$を任意にとる．このとき，$a \in G$なので，$G_A$が$G$の部分群であることから 右剰余類$G_A a$が考えられる．このとき，$|G_A a|=|G_A|$が成り立つ． また，任意の$g \in G_A$に対して，$ga \in A$となる．したがって$G_A a \subset A$が成り立つ． すると， \[ |G_A|=|G_A a| \leq |A|=p^r \] となるので，$|G_A|=p^r$が得られる．したがって，$G_A$は$G$のシロー$p$部分群である．

$X:=G/P$とおく．このとき，$|X|=|G|/|P|=m$である．今，写像 \[ \bullet :H \times X \to X, (h,xP) \mapsto (hx)P \] を考える．このとき$\bullet$はwell-definedな$H$の$X$への作用となる．この作用による$X$の軌道分解を考えると， \[ |X|=\sum_{O \in {\rm Orb}(X)} |O| \] が成り立つ．特に，$|O|$は$|H|$の約数であるが，$|X|=m$は$p$を約数に持たないので，少なくとも1つの$O \in {\rm Orb}(X)$に対し，$|O|=1$である．このとき，$H_{xP}=H$となる$xP \in X$が存在する．つまり，任意の$h \in H$に対し，$h \bullet xP =xP$である．これは任意の$h \in H$に対し，$x^{-1} h x \in P$を意味する．したがって，$x^{-1} H x \subset P$となる．

$P$を$G$のシロー$p$部分群とする． $H$を$G$の任意の$p$部分群とする． このとき，補題8.3.2よりある$x \in G$が存在して$x^{-1} H x \subset P$となる．すると，$H \subset x P x^{-1}$が成り立つ． 任意の$g \in G$に対し，$|g^{-1} P g|=|P|$であったので，$g^{-1}P g$も$G$のシロー$p$部分群である． したがって，(2)が成り立つ．また$H$がシロー$p$部分群であれば，$|H|=p^r=|x P x^{-1}|$なので，$H=x P x^{-1}$となり，$H$と$P$は共役である．これで(3)が示された．

$G$のシロー$p$部分群全体の集合を$ X$とする．このとき，$|X|=n_p$である． $G$は$X$に \[ \bullet : G \times X \to X, \quad (x,H) \mapsto xHx^{-1} \] で作用する． $P$を$G$のシロー$p$部分群とする．このとき，(3)より，$P$の$G$軌道$G \bullet P$は$X$全体となる．したがって，$|X|=|G\bullet P|=|G|/|G_P|$が成り立つ．ここで，$G_P$は$P$の安定化群$G_P=\{g\in G : g \bullet P=gPg^{-1}=P\}$である．ここで，$x \in P$に対し，$xPx^{-1}=P$が成り立つので，$P \subset G_P$である．すると$|G_P|$は$|P|=p^r$の倍数である．したがって，$|X|$は$m$の倍数となることがわかる． 次に$n_p\equiv_p 1$を示す．$P$は$X$に \[ \bullet_P :P \times X \to X, \quad (x,H) \mapsto xHx^{-1} \] で作用するとみなす（上の作用を$P$に制限したもの）．この作用の軌道分解より \[ |X| =|X^{P}|+\sum_{O\in {\rm Orb}(X),\ |O|>1}|O| \] が成り立つ． ここで，$X^P$は$P$の固定点全体の集合 \[X^P=\{H \in X : P_H=P\}=\{H \in X : x \bullet H=xHx^{-1}=H \quad (\forall x \in P)\}\] であった． 各$O \in {\rm Orb}(X)$に対し，$|O|$は$|P|=p^r$の約数なので，右辺の第二項は$p$の倍数である．したがって，$|X^{P}|=1$を示せば$|X|=n_p \equiv_p 1$を得る． 任意の$x \in P$に対し，$xPx^{-1}=P$なので，$P \in X^P$が成り立つ．次に $Q\in X^P$ を任意にとる．このとき定義より \[ xQx^{-1}=Q\qquad(\forall x\in P) \] であるから，$P\subset N_G(Q)$（$Q$ の正規化群）となる． 一方 $Q$ 自身も常に $Q\subset N_G(Q)$ を満たす． ここで $Q$ はシロー $p$ 部分群なので $|Q|=p^r$ である． また $P\subset N_G(Q)$ より $|N_G(Q)|$ は $p^r$ の倍数であるから， \[ |N_G(Q)|=p^r \ell \qquad(\ell\in\mathbb{Z}_{>0}) \] と書ける．すると $N_G(Q)$ の位数の $p$ 部分はちょうど $p^r$ であり， $N_G(Q)$ の任意の $p$ 部分群の位数は高々 $p^r$ である． ところが $P$ も $Q$ も $N_G(Q)$ の $p$ 部分群で，しかも \[ |P|=|Q|=p^r \] であるから，いずれも $N_G(Q)$ の中で「最大位数の $p$ 部分群」である． 特に $P$ と $Q$ は同じ位数 $p^r$ をもつ $p$ 部分群であり， \[ P\subset N_G(Q),\quad Q\subset N_G(Q) \] のもとでどちらも最大位数なので， \[ P=Q \] が従う．従って $X^P=\{P\}$ であり，$|X^P|=1$ である．