13回目：無限集合
13.1 無限集合の濃度
$2$つの有限集合の濃度の大小関係は，それぞれの要素の個数を比較すればできたが，無限集合の場合はそもそも要素が無限個あるので，要素の個数では比較できない．しかし，有限集合の場合，写像を使って比較できたことを思い出そう（12.2節）．その性質をそのまま無限集合での濃度の比較で使う．
有限集合とは限らない集合$X$と$Y$に対し，
一般に，集合$X,Y,Z$に対し，
\[
|X| \approx |Y| \land |Y| \approx |Z| \Rightarrow |X| \approx |Z|
\]
\[
|X| \precsim |Y| \land |Y| \precsim |Z| \Rightarrow |X| \precsim |Z|
\]
が成り立つ（このような性質を推移律という）．
これは次の合成写像の性質から従う（証明略）．
- 全単射$f: X \to Y$が存在するとき，$X$と$Y$は濃度が等しいといい，$|X| \approx |Y|$と書く．
- 単射$f :X \to Y$が存在するとき，$X$の濃度は$Y$の濃度以下であるといい，$|X| \precsim |Y|$と書く． 特に，$|X| \not\approx |Y|$のときは，$|X| \prec |Y|$と書き，$X$の濃度は$Y$の濃度より小さいという．
命題 13.1
集合$X,Y,Z$と写像$f : X \to Y$と$g: Y \to Z$に関して，$f,g$がともに単射（全射，全単射）ならば$g \circ f$も単射（全射，全単射）である．
また集合$X,Y$が$X \subset Y$を満たしていれば，
$|X| \precsim |Y|$
となる．これは写像$\iota_{X,Y}: X \to Y, a \mapsto a$が明らかに単射となるからである．この写像$\iota_{X,Y}$は$X$から$Y$への包含写像と呼ばれる．
13.2 可算集合
自然数全体の無限集合$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$の濃度を$\aleph_0$と書く（$\aleph$はヘブライ文字の最初の文字であり，アレフと呼ぶ ）． 実は$\aleph_0$は無限集合の中で最も小さい濃度である．
濃度が$\aleph_0$と等しい集合を可算集合 (countable set) と呼ぶ．つまり，可算集合は最も濃度が小さい無限集合のことである．可算集合でない無限集合を非可算集合 (uncountable set) と呼ぶ．つまり，非可算集合は$\mathbb{N}$より濃度が大きい集合のことである．
例えば，正の偶数の集合$E=\{2,4,6,\cdots\}$を考える．$f(n)=2n$で表される写像$f: \mathbb{N} \to E$は全単射である．したがって，$E$は$\mathbb{N}$と同じ濃度を持つので，
$
|E| \approx \aleph_0
\nonumber
$
となる．
集合$X$が可算集合であれば全単射$f:\mathbb{N} \to X$が存在する．このとき，各自然数$i$に対し$f(i)=x_i$とすると，$X=\{x_1,x_2,x_3 \ldots\}$のように$X$の要素を$1$番目, $2$番目, $\ldots$と並べることができる．このように要素を順番付けられる無限集合が可算集合である．英語のcountableの意味通りである．
非可算集合の例は次の命題を使うことで簡単に作ることができる．
命題 13.2
$X$を空集合でない集合とする．このとき次が成り立つ．
\[
|X| \prec |2^X|.
\]
証明
写像$f : X \to 2^X$を$x \mapsto \{x\}$で定義すると，これは明らかに単射である（理由を説明できるようにしよう）．よって$|X| \precsim |2^X|$である．
背理法を使って$X$と$2^X$の間に全単射が存在しないことを証明する．
全単射写像$f : X \to 2^X$が存在したと仮定する．
このとき，$X$の部分集合$A$を
\[
A=\{ a \in X: a \notin f(a)\}
\]
で定義する．
特に，$A \in 2^X$であることに注意する．$f$は全射なので，$f(a)=A$となる$X$の要素$a \in X$が存在する．
上記のような$A=\{a : a \notin f(a)\}$という集合を使った証明方法を対角線論法という．
なぜこのような呼び方をするかというと，
わかりやすいように，$X$を可算集合$X=\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$とし，$a_1 \notin f(a_1), a_2 \notin f(a_2), a_3 \in f(a_3)$とする．
下の図のように，$a \notin f(b)$なら$1$，$a \in f(b)$なら$0$を入れていく．
- $a \in A$のとき，$A$の定義より，$a \notin f(a)$である．しかし$f(a)=A$より，$a \notin A$となって矛盾．
- $a \notin A$のとき，$A$の定義より，$a \in f(a)$である．しかし$f(a)=A$より，$a \in A$となって矛盾．
