12. 濃度

\(A\)の要素を\(a_1,\ldots,a_m\)，\(B\)の要素を\(b_1,\ldots,b_n\)とする．\(A\cap B=\emptyset\)なので，これら\(m+n\)個の要素に重複はない．したがって\(A\cup B\)はちょうど\(m+n\)個の要素を持ち，\(|A\cup B|=m+n=|A|+|B|\)である．

\(A\)は互いに素な二つの集合\(A\setminus B\)と\(A\cap B\)の合併なので，命題12.2より \[|A|=|A\setminus B|+|A\cap B|.\] また\(A\setminus B\)と\(B\)も互いに素で，その合併は\(A\cup B\)なので \[|A\cup B|=|A\setminus B|+|B|.\] 第1式から\(|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|\)を得て第2式に代入すれば結論が従う．

\(|A|=m\)，\(|B|=n\)とする．\(A=\emptyset\)または\(B=\emptyset\)なら，命題9.4より\(A\times B=\emptyset\)であり，両辺はともに\(0\)である．

そこで\(A,B\)がともに空集合でないとする．\(A=\{a_1,\ldots,a_m\}\)と書く．各\(i\)について， \[\{a_i\}\times B\] は\(n\)個の要素を持ち，異なる\(i\)に対するこれらの集合は互いに素である．さらに \[A\times B=\bigcup_{i=1}^{m}(\{a_i\}\times B)\] である．命題12.2を繰り返し用いると，\(|A\times B|=n+\cdots+n=mn\)である．

\(A=\{a_1,\ldots,a_n\}\)とする．\(A\)の部分集合\(B\)を一つ作るには，各\(a_i\)について「\(B\)に入れる」「\(B\)に入れない」の2通りから一つを選べばよい．\(n\)個の要素について独立に2通りの選択があるので，部分集合は全部で\(2^n\)個である．したがって\(|2^A|=2^n\)である．

\(n\)個の要素を持つ集合\(A\)の冪集合\(2^A\)を，部分集合の要素数\(k\)ごとに分類する．\(k\)個の要素を持つ部分集合は\(\binom nk\)個あり，異なる\(k\)に属する分類は互いに重ならない．したがって \[|2^A|=\sum_{k=0}^{n}\binom nk.\] 命題12.6より左辺は\(2^n\)なので結論を得る．

右辺で各要素が何回数えられるかを調べる．\(x\in\bigcup_{i=1}^{n}A_i\)がちょうど\(r\)個の集合\(A_i\)に属するとする．第1項では\(x\)は\(r\)回数えられる．二つの共通部分を引く項では\(\binom r2\)回引かれ，三つの共通部分を足す項では\(\binom r3\)回足される．したがって\(x\)の係数は \[\binom r1-\binom r2+\binom r3-\cdots+(-1)^{r-1}\binom rr\] である．これが\(1\)になることを示せばよい．

\(r\)個の要素を持つ集合\(R\)を一つとり，特定の要素\(a\in R\)を固定する．\(R\setminus\{a\}\)の各部分集合\(B\)に対して，\(B\)と\(B\cup\{a\}\)を一組にする．この二つは要素数が1だけ異なるので，一方は偶数個，他方は奇数個の要素を持つ．また\(R\)のすべての部分集合はこのような組のいずれかにただ一度現れる．したがって，偶数個の要素を持つ部分集合と奇数個の要素を持つ部分集合の個数は等しい．よって \[\binom r0-\binom r1+\binom r2-\cdots+(-1)^r\binom rr=0.\] \(\binom r0=1\)を移項すれば，上の\(x\)の係数が\(1\)であることが分かる．したがって，右辺では合併に属する各要素がちょうど1回ずつ数えられるので，式が成り立つ．

\(|X|=n\)，\(|Y|=m\)とする．

(1) \(n\leq m\)とする．\(n=0\)なら\(X=\emptyset\)であり，空集合から\(Y\)への写像は単射である．\(n>0\)なら\(X=\{x_1,\ldots,x_n\}\)とし，\(Y\)から異なる\(n\)個の要素\(y_1,\ldots,y_n\)を選んで\(f(x_i)=y_i\)と定めれば単射が得られる．逆に単射\(f:X\to Y\)が存在すれば，\(X\)の異なる\(n\)個の要素は\(Y\)の異なる\(n\)個の要素に移るので\(n\leq m\)である．

(2) \(Y\neq\emptyset\)なので\(m\geq1\)である．\(n\geq m\)とする．\(X=\{x_1,\ldots,x_n\}\)，\(Y=\{y_1,\ldots,y_m\}\)と書き，\(f(x_i)=y_i\) \((1\leq i\leq m)\)，\(i>m\)では\(f(x_i)=y_m\)と定めれば\(f\)は全射である．逆に全射\(f:X\to Y\)が存在するとする．\(Y\)の各要素\(y_i\)に対して\(f(x_i)=y_i\)となる\(x_i\in X\)を一つ選ぶ．\(y_i\)が異なるので\(x_i\)も互いに異なる．したがって\(X\)には少なくとも\(m\)個の要素があり，\(n\geq m\)である．

(3) \(n=m\)とする．\(n=0\)なら\(X=Y=\emptyset\)であり，空集合から空集合への唯一の写像は全単射である．\(n>0\)なら(1)で\(f(x_i)=y_i\)と定めた写像は全単射である．逆に全単射\(f:X\to Y\)が存在すれば，(1)から\(n\leq m\)である．逆写像\(f^{-1}:Y\to X\)も単射なので，再び(1)から\(m\leq n\)である．よって\(n=m\)である．

最後に\(Y=\emptyset\)とする．\(X=\emptyset\)なら空集合から空集合への写像は全射である．\(X\neq\emptyset\)なら\(x\in X\)に対応させる\(Y\)の要素が存在しないので，そもそも写像\(X\to\emptyset\)が存在しない．したがって全射も存在しない．

(1) \(Y=\{y_1,\ldots,y_m\}\)とする．\(f\)が単射なので，各\(y_i\)に対して\(f(x)=y_i\)を満たす\(x\in X\)は高々一つである．各\(x\in X\)について\(f(x)\)は\(y_1,\ldots,y_m\)のいずれかであり，単射性から一つの\(y_i\)に二つ以上の\(X\)の要素が対応することはない．したがって\(X\)の要素は高々\(m\)個である．よって\(X\)は有限集合である．

(2) \(X=\{x_1,\ldots,x_n\}\)とする．\(f\)が全射なので，\(Y\)のすべての要素は\(f(x_1),\ldots,f(x_n)\)のいずれかである．したがって\(Y\)の要素は高々\(n\)個であり，\(Y\)は有限集合である．

\(f\)が単射なら，\(X\)の\(|X|=|Y|\)個の要素は\(Y\)の互いに異なる\(|Y|\)個の要素に移るので，\(Y\)のすべての要素が像に現れ，\(f\)は全射である．全射なら，同じ濃度の\(Y\)の各要素に少なくとも一つの\(X\)の要素が対応するので，異なる二つの\(X\)の要素が同じ\(Y\)の要素に対応すると別の\(Y\)の要素に対応する元が不足する．したがって単射でもある．よって(1),(2),(3)は同値である．

もし単射\(f:X\to Y\)が存在すれば，定理12.9(1)より\(|X|\leq|Y|\)となり，仮定に矛盾する．したがって単射は存在しない．単射でないことは，異なる二つの要素が同じ像を持つことを意味する．

まず\(n\geq1\)とし，\(X=\{x_1,\ldots,x_n\}\)とする．写像\(f:X\to Y\)を定めるには，各\(x_i\)に対応させる\(f(x_i)\in Y\)を一つ選べばよい．各\(i\)について\(m\)通りの選択肢があり，\(n\)個の要素について独立に選べるので，写像は\(m^n\)個ある．

\(n=0\)なら\(X=\emptyset\)である．定義域に要素がないため，何も対応させない規則がただ一つ存在し，これが空集合から\(Y\)への唯一の写像である．

まず\(1\leq n\leq m\)とし，\(X=\{x_1,\ldots,x_n\}\)とする．単射を作るとき，\(f(x_1)\)は\(m\)通りから選べる．\(f(x_2)\)は\(f(x_1)\)と異ならなければならないので\(m-1\)通り，以下同様に\(f(x_k)\)はそれまでに使った\(k-1\)個を除いた\(m-k+1\)通りから選べる．したがって積をとれば(1)の公式を得る．\(n=0\)なら\(X=\emptyset\)であり，命題12.13より写像はちょうど1個である．これは単射である．

(2) \(n=m\geq1\)なら，\(X\)から\(Y\)への単射は定理12.9と系12.11により全単射であり，(1)の個数は\(n!\)となる．\(n=m=0\)なら，空集合から空集合への唯一の写像が全単射であり，\(0!=1\)なので同じ公式が成り立つ．