3回目：二項関係
3.1 二項関係
東邦大学の学生の集合$X$を，仮に \[ X=\{\mbox{フェルマー，オイラー，ガウス，セール，ヒルベルト，エルデシュ}\} \] とし，東邦大学の学部の集合を \[Y=\{\mbox{医，薬，理，看護，健康科学}\}\] とする．集合$X$と集合$Y$を個別に考えると，これらはただの独立した集合であるが，「学生」と「その学生が所属する学部」を考えると，2つの集合の要素の間に「関係」が現れる．例えば，「フェルマーは医」，「オイラーは看護」，「ガウスは理」，「セールは健康科学」，「ヒルベルトは薬」，「エルデシュは理」としよう．この「関係」というものを数学的に定義するにはどうすればいいか．上の「関係」は結局， $X$の要素（学生）$x$と$Y$の要素（学部）$y$の組の集まりである．これは順序対$(x,y)$を使って表すのがよさそうである．実際，直積集合$X \times Y$の部分集合$R$を \[ R=\left\{\mbox{(フェルマー, 医)},\mbox{(オイラー, 看護)}, \mbox{(ガウス, 理)},\mbox{(セール, 健康科学)},\mbox{(ヒルベルト, 薬)},\mbox{(エルデシュ, 理)} \right\} \] とすると，この集合$R$は上の「関係」を完全に表していることが分かるであろう．これを踏まえて２つの集合の「関係」を定義する．ここで，$X=Y$とし，次の$X$上の関係を考える： \[ {\rm Id}_{X}=\{ (x,x) : x \in X\}=\{ (x_1,x_2) \in X \times X : x_1=x_2\}. \] この関係を$X$の恒等関係 (identity relation)という．
3.2 矢線図と有向グラフ
有限集合$X$と$Y$が有限集合のとき，$X$から$Y$への関係は矢線図 (arrow diagram)を用いて表現することができる．例えば，前ページの「学生」と「学部」の関係の矢線図は以下の左図のようになる．また，集合$X$上の関係は矢線図の他に有向グラフ (directed graphまたはdigraph)を用いて表現することもできる．例えば，例3.2の$X$上の関係$R$は以下の右図で表現される．
3.3 二項関係の演算
2つの$X$から$Y$への関係$R$と$S$を考える．このとき，$R$と$S$は$X \times Y$の部分集合であるので，その合併$R \cup S$，共通部分$R \cap S$，差$R \setminus S$は再び$X \times Y$の部分集合となるので，これらも$X$から$Y$への関係である．つまり，$X$から$Y$への関係は，これら集合の演算で閉じていることがわかる．- $ R=\{ (1,a), (2,b), (2,c),(3,b)\} $ は「学生」と「その学生が受講している科目」を表す関係，
- $ S=\{ (1,a), (1,b), (2,b),(3,c)\} $ は「学生」と「その学生が興味を持っている科目」を表す関係．
- $ R \cup S=\{(1,a),(1,b),(2,b), (2,c),(3,b),(3,c)\} $ は「学生」と「その学生が受講している，または興味を持っている科目」 を表す関係，
- $ R \cap S = \{ (1,a), (2,b)\} $ は「学生」と「その学生が興味を持って受講している科目」を表す関係，
- $ R \setminus S = \{ (2,c), (3,b)\} $ は「学生」と「その学生が受講しているが興味のない科目」を表す関係
3.4 逆関係
$R$を$X$から$Y$への関係，つまり$R \subset X \times Y$とする．このとき，$R$の逆関係 (inverse relation) $R^{-1}$は，$\{(y,x) \in Y \times X : (x,y) \in R\}$で与えられる$Y$から$X$への関係である．定義から$xRy \iff yR^{-1}x$が従う．- $ R^{-1}=\{ (a,1), (b,2), (c,2),(b,3)\} $ は「科目」と「その科目を受講している学生」を表す関係，
- $ S^{-1}=\{ (a,1), (b,1), (b,2),(c,3)\} $ は「科目」と「その科目に興味を持っている学生」を表す関係
$(R^{-1})^{-1}=R$
$R \subset S$ならば$R^{-1} \subset S^{-1}$
$(R \cup S)^{-1}=R^{-1} \cup S^{-1}$
$(R \cap S)^{-1}=R^{-1} \cap S^{-1}$
まず$(R \cup S)^{-1} \subset R^{-1} \cup S^{-1}$を示す．ここで$(R \cup S)^{-1}$と$R^{-1} \cup S^{-1}$は$Y$から$X$への関係であることに注意する．任意の$(y,x) \in (R \cup S)^{-1} $をとると，このとき，逆関係の定義から$(x,y) \in R \cup S$である．つまり$(x,y) \in R$または$(x,y) \in S$である．これは，再び逆関係の定義から，$(y,x) \in R^{-1}$または$(y,x) \in S^{-1}$を意味するので，$(y,x) \in R^{-1} \cup S^{-1}$が従う．よって$(R \cup S)^{-1} \subset R^{-1} \cup S^{-1}$となる．
次に，$R^{-1} \cup S^{-1} \subset (R \cup S)^{-1}$を示す．任意の$(y,x) \in R^{-1} \cup S^{-1}$をとると，これは$(y,x) \in R^{-1}$または$(y,x) \in S^{-1}$を意味する．逆関係の定義より，$(x,y) \in R$または$(x,y) \in S$が従い，つまり$(x,y) \in R \cup S$となる．このとき，再び逆関係の定義から，$(y,x) \in (R \cup S)^{-1}$が従う．よって$R^{-1} \cup S^{-1} \subset (R \cup S)^{-1}$となる．
以上から$(R \cup S)^{-1} = R^{-1} \cup S^{-1}$が証明できた．
3.5 合成関係
集合$X$から$Y$への二項関係$R$と集合$Y$から$Z$への関係$S$を考える．このとき，$X$から$Z$への関係$R \circ S$（これで一つの関係を表す）を \[ S \circ R = \{ (x,z) \in X \times Z : \mbox{ある$y\in Y$に対して$xRy$かつ$ySz$である} \} \] により定めることができる．すなわち， \[ S \circ R = \{ (x,z) \in X \times Z : \exists y \in Y ( (x,y) \in R \land (y,z) \in S) \} \] である．これを$R$と$S$の合成関係 (composite relation)という．$R$と$S$の順番を間違えないように注意！- $R=\{(1,a),(2,b),(2,c),(3,b),(3,c),(3,d)\}$を「学生」と「その学生が受講している科目」を表す関係，
- $S=\{(a, \alpha), (b, \beta), (b,\gamma), (c,\gamma), (d, \gamma) \}$を「科目」と「その科目を担当している先生」を表す関係
$(S \circ R)^{-1}=R^{-1} \circ S^{-1}$，
$T \circ (S \circ R)= (T \circ S) \circ R$（関係の合成に関する結合則），
$R \circ {\rm Id}_X=R$かつ${\rm Id}_Y \circ R=R$．
(1) $(z,x) \in Z \times X$とすると，このとき， \begin{align*} (z,x) \in (S \circ R)^{-1} &\iff (x,z) \in S \circ R & \mbox{（逆関係の定義）}\\ &\iff \exists y \in Y ( (x,y) \in R \land (y,z) \in S) & \mbox{（合成関係の定義）}\\ &\iff \exists y \in Y ( (y,x) \in R^{-1} \land (z,y) \in S^{-1}) & \mbox{（逆関係の定義）}\\ &\iff \exists y \in Y ( (z,y) \in S^{-1} \land (y,x) \in R^{-1}) & \mbox{（論理の交換律）}\\ &\iff (z,x) \in R^{-1} \circ S^{-1} & \mbox{（合成関係の定義）} \end{align*} よって$(S \circ R)^{-1}=R^{-1} \circ S^{-1}$である．
(2) 次の事実に注意する． \begin{equation} \exists x P(x) \land Q \iff \exists x ( P(x) \land Q) \tag{*} \end{equation} \begin{equation} \exists x \exists y P(x,y) \iff \exists y \exists x P(x,y) \tag{**} \end{equation} $(x,w) \in X \times W$とすると， このとき， \begin{align*} (x,w) \in T \circ (S \circ R) &\iff \exists z \in Z ( \underline{(x,z) \in S \circ R} \land (z,w) \in T) & \mbox{（合成関係の定義）}\\ &\iff \exists z \in Z ( \underline{(\exists y \in Y((x,y) \in R \land (y,z) \in S ))} \land \underline{(z,w) \in T}) & \mbox{（合成関係の定義）}\\ &\iff \exists z \in Z ( \exists y \in Y(\underline{((x,y) \in R \land (y,z) \in S ) \land (z,w) \in T})) & \mbox{（*）}\\ &\iff \underline{\exists z \in Z \, \exists y \in Y}((x,y) \in R \land (y,z) \in S \land (z,w) \in T) & \mbox{（論理の結合律）}\\ &\iff \exists y \in Y \, \underline{\exists z \in Z} ( \underline{(x,y) \in R} \land (y,z) \in S \land (z,w) \in T) & \mbox{（**）}\\ &\iff \exists y \in Y ((x,y) \in R \land \underline{\exists z \in Z( (y,z) \in S \land (z,w) \in T) })& \mbox{（*）}\\ &\iff \exists y \in Y ((x,y) \in R \land (y,w)\in T \circ S)& \mbox{（合成関係の定義）}\\ &\iff （x,w) \in (T \circ S) \circ R & \mbox{（合成関係の定義）} \end{align*} よって$T \circ (S \circ R)= (T \circ S) \circ R$である．
(3) $(x,y) \in X \circ Y$とすると，このとき， \begin{align*} (x,y) \in R \circ {\rm Id}_X & \iff \exists x' \in X ( (x,x') \in {\rm Id}_X \land (x',y) \in R) & \mbox{（合成関係の定義）}\\ &\iff \exists x' \in X (x=x' \land (x',y) \in R) & \mbox{（恒等関係の定義）}\\ &\iff (x,y) \in R \end{align*} よって$R \circ {\rm Id}_X=R$である．${\rm Id}_Y \circ R=R$も同様．