4. 同値関係

整数を割った余りのように，特定の性質が一致する対象を同じものとみなすことがある．このような関係は，等号の反射律・対称律・推移律を一般化した同値関係として扱う．

4.1 等号の基本的性質

集合\(X\)上の等号\(=\)を二項関係として考えると，これは恒等関係 \[\operatorname{Id}_X=\{(x,x):x\in X\}\] に他ならない．等号には，次の3つの基本的な性質がある．

1. 任意の\(x\in X\)に対して\(x=x\)である．

2. \(x=y\)ならば\(y=x\)である．

3. \(x=y\)かつ\(y=z\)ならば\(x=z\)である．

これらの性質を，一般の二項関係についてそれぞれ反射律・対称律・推移律という．

4.2 反射律

恒等関係を用いると，反射律は \[R\text{が反射的}\Longleftrightarrow \operatorname{Id}_X\subset R\] と書ける．実際，\(\operatorname{Id}_X\)は\((x,x)\)という形の順序対全体の集合なので，\(\operatorname{Id}_X\subset R\)は「すべての\(x\in X\)に対して\((x,x)\in R\)」という条件そのものである．

有向グラフで見ると，\((x,x)\in R\)は頂点\(x\)にループがあることを意味する．したがって，反射的な関係とは，すべての頂点にループがある関係である．

例えば，\(X=\{1,2,3\}\)上の\(=\)や\(\leq\)は反射的であるが，\(<\)は反射的ではない．実際，\(1<1\)は成り立たない．

次の有向グラフでは，反射律に対応するループを太く描いている．

4.3 対称律

逆関係を用いると， \[R\text{が対称的}\Longleftrightarrow R^{-1}=R\] が成り立つ．実際，\(xRy\)ならば\(yRx\)という条件は，\(R\)に含まれるすべての矢印を逆向きにしても同じ関係になることを意味している．したがって，有向グラフで見ると，\(x\)から\(y\)への矢印があれば，必ず\(y\)から\(x\)への矢印もある関係が対称的な関係である．ループは自分自身を逆向きにしたものなので，そのままでよい．

例えば\(=\)は対称的である．一方，\(1\leq2\)であっても\(2\leq1\)ではないので，\(\leq\)は対称的ではない．同様に\(<\)も対称的ではない．

有向グラフでは，対称律は「矢印があれば逆向きの矢印もある」と読める．破線は，対称律を満たすためには必要だが実際には存在しない矢印を表している．

4.4 推移律

合成関係を用いると， \[R\text{が推移的}\Longleftrightarrow R\circ R\subset R\] と表せる．実際，\((x,z)\in R\circ R\)とは，ある\(y\in X\)が存在して\(xRy\)かつ\(yRz\)となることだった．したがって\(R\circ R\subset R\)は，そのような\(x,z\)に対して必ず\(xRz\)となることを意味する．

有向グラフでは，\(x\)から\(y\)，\(y\)から\(z\)への矢印があれば，\(x\)から\(z\)への矢印も存在することが推移律に対応する．

例えば\(\leq\)や\(<\)では，\(1\)から\(2\)，\(2\)から\(3\)への矢印があり，\(1\)から\(3\)への矢印も存在する．次の図では，推移律によって存在する矢印を太く描いている．

\(=,\leq,<\)はいずれも推移的である．例えば\(x<y\)かつ\(y<z\)ならば\(x<z\)となる．

ここまでをまとめると，\(X=\{1,2,3\}\)上の\(=,\leq,<\)について次の表が得られる． \[\begin{array}{c|ccc} & \text{反射律} & \text{対称律} & \text{推移律}\\ \hline = & \text{○} & \text{○} & \text{○}\\ \leq & \text{○} & \text{×} & \text{○}\\ < & \text{×} & \text{×} & \text{○} \end{array}\] この3つの例のうち，等号だけが3つの性質をすべて満たしている．

4.5 同値関係

通常の等号\(=\)は反射律・対称律・推移律の3つをすべて満たしている．そこで，この3つの性質だけを取り出し，「等しい」という概念を一般化する．

同値関係は「まったく同じ」であることを表す必要はない．ある情報だけに注目して，その意味で同じ対象を同一視するために用いられる．

有限集合上の同値関係を有向グラフで表すと，同値な頂点どうしは両方向の矢印で結ばれ，各頂点にはループがある．頂点を互いに同値なものごとに分けると，各部分ではすべての頂点間に矢印があり，異なる部分の間には矢印がない．

任意の集合\(X\)に対して，恒等関係\(\operatorname{Id}_X\)は同値関係である．また，全体関係\(X\times X\)も同値関係であり，これはすべての元を同値とみなす関係である．

4.6 写像から生じる同値関係

写像\(f:X\to Y\)が与えられたとき，\(X\)上の二項関係\(\sim_f\)を \[x\sim_f y\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} f(x)=f(y)\] で定める．これは「\(x\)と\(y\)そのものは異なっていても，\(f\)によって取り出した情報が同じならば同じとみなす」という関係である．

命題 4.9 の証明

任意の\(x\in X\)に対して\(f(x)=f(x)\)なので\(x\sim_f x\)であり，反射律が成り立つ．\(x\sim_f y\)ならば\(f(x)=f(y)\)であり，\(f(y)=f(x)\)なので\(y\sim_f x\)である．さらに\(x\sim_f y\)かつ\(y\sim_f z\)ならば\(f(x)=f(y)\)かつ\(f(y)=f(z)\)なので\(f(x)=f(z)\)となり，\(x\sim_f z\)である．よって\(\sim_f\)は同値関係である．

例えば，例4.6で，各人にその誕生月を対応させる写像\(f:X\to\{1,2,\ldots,12\}\)を考えれば，「誕生月が同じ」という関係は\(x\sim_f y\Longleftrightarrow f(x)=f(y)\)という形になっている．このように，写像\(f\)によって，\(X\)の元を\(f\)の値が等しいものごとに分類できる．

4.7 合同式

同値関係の代表的な例として，整数の合同式を考える．自然数\(m\geq1\)に対して \[m\mathbb Z:=\{mk:k\in\mathbb Z\}\] とする．整数\(a,b\)に対し，\(a-b\)が\(m\)の倍数であるとき，\(a\)は\(b\)と\(m\)を法として合同 (congruent)であるといい， \[a\equiv b\pmod m\] と書く．すなわち， \[a\equiv b\pmod m \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} a-b\in m\mathbb Z \Longleftrightarrow \exists k\in\mathbb Z\ (a-b=mk).\] 例えば\(5\equiv2\pmod3\)であり，\(5\equiv-1\pmod3\)でもある．これは，これらの整数を3で割った余りが同じであることを表している．ここで整数\(a\)を正の整数\(m\)で割るときには， \[a=mq+r,\qquad q\in\mathbb Z,\quad 0\leq r<m\] となる整数\(r\)を余りとする．負の整数についても同じ約束を用いる．例えば\(5=3\cdot1+2\)，\(-1=3\cdot(-1)+2\)なので，\(5\)と\(-1\)を3で割った余りはともに2である．

命題 4.10 の証明

任意の\(a\in\mathbb Z\)に対して\(a-a=0=m\cdot0\)なので\(a\equiv a\pmod m\)であり，反射律が成り立つ．

\(a\equiv b\pmod m\)を仮定すると，ある\(k\in\mathbb Z\)を用いて\(a-b=mk\)と書ける．したがって\(b-a=m(-k)\)であり，\(-k\in\mathbb Z\)なので\(b\equiv a\pmod m\)である．よって対称律が成り立つ．

最後に\(a\equiv b\pmod m\)かつ\(b\equiv c\pmod m\)を仮定する．ある\(k,\ell\in\mathbb Z\)を用いて\(a-b=mk\)，\(b-c=m\ell\)と書けるので， \[a-c=(a-b)+(b-c)=m(k+\ell).\] \(k+\ell\in\mathbb Z\)なので\(a\equiv c\pmod m\)であり，推移律が成り立つ．以上より\(\equiv\pmod m\)は同値関係である．

この証明では，合同の定義\(a-b=mk\)を用いて，整数の加法の性質から反射律・対称律・推移律を導いている．

合同関係は整数の加法と乗法によって保たれる．

命題 4.11 の証明

ある\(k,\ell\in\mathbb Z\)を用いて\(a-b=mk\)，\(c-d=m\ell\)と書ける．このとき \[(a+c)-(b+d)=m(k+\ell)\] なので\(a+c\equiv b+d\pmod m\)である．また \[ac-bd=c(a-b)+b(c-d)=m(ck+b\ell)\] であり，\(ck+b\ell\in\mathbb Z\)なので\(ac\equiv bd\pmod m\)である．

合同な整数に取り替えて計算しても，和どうし，積どうしはそれぞれ合同になる．

合同式は，整数の「等しい」という概念を「\(m\)の倍数だけ違うものは同じとみなす」という意味へ拡張したものである．例えば\(m=3\)なら， \[\cdots\equiv -3\equiv0\equiv3\equiv6\equiv\cdots\pmod3, \qquad \cdots\equiv -2\equiv1\equiv4\equiv7\equiv\cdots\pmod3.\]

4.8 補足：多項式における合同式

整数の合同式の考え方は，整数だけに特有のものではない．実数を係数とする1変数多項式全体の集合を\(\mathbb R[x]\)とし，\(0\)でない多項式\(p\in\mathbb R[x]\)を固定する．\(f,g\in\mathbb R[x]\)に対して \[f\equiv g\pmod p \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} f-g\text{が}p\text{で割り切れる}\] と定めると，これは\(\mathbb R[x]\)上の同値関係になる．実際，「\(f-g\)が\(p\)で割り切れる」とは，ある\(q\in\mathbb R[x]\)を用いて\(f-g=pq\)と書けることなので，命題4.10と同じ証明がそのまま使える．

例えば\(p=x^2+1\)ならば，\(x^3-(-x)=x(x^2+1)\)なので \[x^3\equiv -x\pmod{x^2+1}\] である．整数の合同式と同様に，多項式の合同関係も加法と乗法によって保たれる．