４回目：同値関係
直積集合$X \times Y$の部分集合のことを，$X$から$Y$への（二項）関係， 特に，$X=Y$のときは，$X$上の（二項）関係と呼んでいた． 本節では特別な$X$上の関係を考えることで，集合$X$における「等しい（$=$）」という概念を拡張する．4.1 反射的な関係
定義 4.1
集合$X$上の関係$R$が反射的 (reflexive)であるとは，任意の$x \in X$に対して$(x,x) \in R$であるときにいう．つまり，
$R$が反射的である $\iff \forall x \in X ( (x,x) \in R) \iff {\rm Id}_X \subset R$
である．
ここで，${\rm Id}_X$は$X$の恒等関係である．
例 4.2
$X=\{1,2,3\}$とし，$X$上の関係
\begin{align*}
R&=\{(1,1), (2,2), (3,3)\} \\
S&=\{(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3),(3,3)\}\\
T&=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}
\end{align*}
を考える．$R,S,T$はそれぞれ，$=,\leq, \lt $という関係を表していることに注意する．
特に，$R$は$X$の恒等関係${\rm Id}_X$に他ならない．反射律の3つ目の同値条件を考えると，
${\rm Id}_X \subset {\rm Id_X}$なので，$R$は反射的である．また$R \subset S$なので，$S$も反射的である．
一般に，反射的な関係を部分集合に持つ関係は，再び反射的となる．
最後に$T$を考えると，$1 \in X$に対して，$(1,1) \notin T$なので，$T$は反射的ではない．
有向グラフで考えると，反射的な関係とは，全ての頂点にループ辺が存在する関係のことである．
4.2 対称的な関係
定義 4.3
集合$X$上の関係$R$が対称的 (symmetric)であるとは，任意の$a,b \in X$に対して$(a,b) \in R$ならばいつでも$(b,a) \in R$であるときにいう．つまり，
$R$が対称的である $\iff \forall a, b \in X ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R ) \iff R=R^{-1}$．
ここで，$R^{-1}$は$R$の逆関係である．
例 4.4
例4.2の集合$X$と$X$上の関係$R,S,T$を考える．任意の集合$A$に対して，$({\rm Id}_A)^{-1}={\rm Id}_A$であるので，$R$は対称的である．一方，$1,2 \in X$に対し，$(1,2) \in S$（同様に$(1,2) \in T$）であるが，$(2,1) \notin S$（同様に$(2,1) \notin T$）であるので，$S$および$T$は対称的ではない．
有向グラフで見ると，対称的な関係とは，ある頂点から頂点への矢印があれば，必ず逆方向の矢印も存在する関係である．ただし，ループ辺は自分自身が逆向きの矢印となる．
4.3 推移的な関係
定義 4.5
集合$X$上の関係$R$が推移的 (transitive)であるとは，任意の$a,b,c \in X$に対して，$(a,b) \in R$かつ$(b,c) \in R$ならばいつでも$(a,c) \in R$となるときをいう．つまり，
$R$が推移的である $\iff \forall a,b,c \in X ( (aRb \land bRc) \rightarrow aRc) \iff R \circ R \subset R$．
ここで，$R \circ R$は$R$と$R$の合成関係である．
例 4.6
例4.2の集合$X$と$X$上の関係$R,S,T$を考える．任意の集合$A$に対して，${\rm Id}_A \circ {\rm Id}_A={\rm Id}_A \subset {\rm Id}_A$であるので，$R$は推移的である．一方，簡単な計算により，
$S \circ S=S$と$T \circ T=\{(1,3)\} \subset T$がわかるので，$S$も$T$も推移的となる．有向グラフで考えると，推移的な関係とは，ある2頂点が2つの矢印を通り辿り着けるなら，その2点間に近道となる矢印が必ずあるということである．
例 4.7
推移的でない二項関係の例も見ておこう．$X=\{1,2,3\}$とし，$X$上の二項関係を
\[
R=\{ (1,1), (1,2), (2,3),(3,3)\}
\]
とすると，$(1,2), (2,3) \in R$だが，$(1,3) \notin R$なので，$R$は推移的ではない．
特に，
\[
R \circ R=\{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,3)\}
\]
なので$R \circ R \not\subset R $である．有向グラフで考えると，$1$と$3$は2本の矢印を通り辿り着けるが，その間には近道がない．
4.4 同値関係
定義 4.8
集合$X$上の関係$R$が同値関係 (equivalence relation)であるとは，$R$が反射的かつ対称的かつ推移的であるときにいう．この３つの条件をそれぞれ反射律 ，対称律 ，推移律という．
$R$が同値関係のとき，$a R b$ならば，$a$と$b$は$R$に関して同値であるという．
同値関係には$\sim$や$\equiv$という記号がよく使われる．このとき，$a$と$b$が同値ではないとき，$a \not\sim b$や$a \not\equiv b$と書く．
同値関係は「なんらかの意味で等しい」を意味する関係であり，これまでの「等しい（$=$）」という概念を拡張している．まず「等しい（$=$）」が実際に同値関係であることを確認する．
例 4.9
例4.2の集合$X$と$X$上の関係$R,S,T$を考える．これまでの結果をまとめると，以下の表が成り立つ：
$R,S,T$はそれぞれ，$=,\leq, \lt $という関係を表していたことを思い出そう．同値関係は「等しい」という概念を拡張したものなので，$=$だけが同値関係となるのは納得できるであろう．
次に，「なんらかの意味で等しい」ということを具体例で確認してみる．
| 関係 | 反射律 | 対称律 | 推移律 | 同値関係 |
|---|---|---|---|---|
| $R$ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| $S$ | ○ | × | ○ | × |
| $T$ | × | × | ○ | × |
例 4.10
この教室にいる学生の集合を$X$とする．
今，$X$上の二項関係$\sim$を
\[
\sim =\{ (a,b) \in X^2 : a\mbox{と}b\mbox{の誕生月は同じである}\}
\]
で定義する．ただし，自分自身とも誕生月が同じであるとみなすことに注意する．これは反射律が成り立つことを意味する．また$a$と$b$の誕生月が同じであればもちろん$b$と$a$の誕生月は同じなので，対称律も成り立つ．最後に，$a$と$b$の誕生月が同じでかつ$b$と$c$の誕生月が同じであれば，$a$と$c$の誕生月も同じであるので，推移律も成り立つ．以上より，$\sim$は同値関係となる．
注意 4.11
例4.10のように，順序対$(a,b)$に同じ法則で二項関係を定義するとき，集合の形ではなく，次のような書き方をすることがある．「$X$上の二項関係$\sim$を
\[
a \sim b \iff a\mbox{と}b\mbox{の誕生月は同じである}
\]
で定義する」こちらの方が，上の集合の形で定義するよりわかりやすいだろう．意味は同じなので，どっちで書かれていても理解できるようにしよう．
次に，似たように定義した2つの二項関係が，片方は同値関係になり，もう片方はならない場合があることを見る．
例 4.12
$\mathbb{Z}$上の二項関係，$\sim_E$と$\sim_O$を
\begin{align*}
a \sim_E b & \iff a-b\mbox{が偶数}\\
a \sim_O b &\iff a-b\mbox{が奇数}
\end{align*}
で定義する．
後で証明する命題4.15を使うと$\sim_E$は同値関係となる．一方，$\sim_O$は同値関係ではない．実際，$1 \in \mathbb{Z}$に対し，$1-1=0$は奇数ではないので，$1 \not\sim_O 1$であり，反射律が成り立たない．また推移律も成り立たない．似たような定義でも同値関係になるかどうかはわからない．この2つの二項関係にはどういった差があるのか，なぜ同値関係の定義に$3$つの性質を必要とするのか．その理由は集合を「なんらかの意味で等しいもの」でグループ分けしたいからである．これは次回説明する．
任意の集合$X$に対して，恒等関係${\rm Id}_X$はいつでも同値関係であった．これとは別に，明らかに同値関係となるものがもう一つある．
例 4.13
集合$X$に対し，全体関係$X \times X$は同値関係である．この同値関係は集合の要素が全て「等しい」ということになる．この同値関係を$X$の自明な同値関係と呼ぶ．
4.5 合同式
同値関係の代表例の１つは整数に対する合同式である．定義 4.14
自然数$m$に対し，整数$a$と$b$が$m$を法 (module)として合同 (congruent)であるとは，$a-b$が$m$の倍数となるときにいう．
このとき，
\[
a \equiv_m b \mbox{または} a \equiv b \ ({\rm mod}\ m)
\]
と書く．
法$m$が文脈から明らかのときは，単に$a \equiv b$と書くこともある．
例えば，$5 \equiv_3 2 \equiv_3 -1$であり，これは$3$で割った余りが等しいという関係を表す．これは高校数学の発展として教科書に書かれている．
この合同式$\equiv_m$が実は同値関係であることを示そう．そのために，$\equiv_m$を$\mathbb{Z}$上の二項関係で再定義する．自然数$m$に対して，$m\mathbb{Z}=\{ mx : x \in \mathbb{Z}\}$，つまり$m$の倍数全体の集合とすると，合同式は$\mathbb{Z}$上の二項関係として
\[
a \equiv_m b \iff a-b \in m\mathbb{Z}
\]
で定義できる．例えば，$5-2=3 = 3 \cdot 1 \in 3 \mathbb{Z}$なので，$5 \equiv_3 2$である．
命題 4.15
$m$を自然数とする．$\mathbb{Z}$上の二項関係$\equiv_m$は同値関係である．
証明
（反射律） 任意の整数$a \in \mathbb{Z}$に対し，$a-a=0=m \cdot 0 \in m \mathbb{Z}$なので，$a \equiv_m a$が従い，$\equiv_m$は反射的である．
（対称律） 任意の整数$a,b \in \mathbb{Z}$で，$a \equiv_m b$となるものをとってくる．このとき，$a-b \in m \mathbb{Z}$であるので，ある整数$k$に対し，$a-b= m k$と書ける．$b-a=-mk=m (-k)$であり，$-k$は整数なので，$b-a \in m \mathbb{Z}$が従う．よって$b \equiv_m a$となり，$\equiv_m$は対称的である．
（推移律） 任意の整数$a,b,c \in \mathbb{Z}$で，$a \equiv_m b$かつ$b \equiv_m c$となるものをとってくる．このとき，$a -b, b-c \in m\mathbb{Z}$なので，ある整数$k$と$\ell$に対し，$a-b=mk, b-c=m\ell$と書ける． \[ a-c=(a-b)+(b-c)=mk+m \ell =m(k+\ell) \] となり，$k+\ell$は整数であるので，$a-c \in m\mathbb{Z}$が従う．よって$a \equiv_m c$となり，$\equiv_m$は推移的である．
以上より，$\equiv_m$は反射律，対称律，推移律が成り立つので，同値関係である．