6. 順序関係と順序集合
数の大小関係，正の整数の整除関係，集合の包含関係には，反射律・推移律・反対称律という共通の性質がある．これらの性質を用いて，一般の集合上の順序を定義する．
6.1 前順序
整数上の通常の大小関係\(\leq\)を考える． 任意の整数\(x,y,z\in\mathbb Z\)に対して， \[x\leq x, \qquad x\leq y,\ y\leq z\Rightarrow x\leq z\] が成り立つ．前者は反射律，後者は推移律に他ならない． そこで，この2つの性質だけを持つ関係をまず考える．
集合\(P\)上の二項関係\(\preceq\)が
\(\forall x\in P\ (x\preceq x)\)（反射律），
\(\forall x,y,z\in P\ (x\preceq y\land y\preceq z\to x\preceq z)\)（推移律）
を満たすとき，\(\preceq\)を\(P\)上の前順序 (preorder)という．
\(\preceq\)を表す関係\(R\subset P\times P\)が 前順序であることは \[\operatorname{Id}_P\subset R, \qquad R\circ R\subset R\] と表すこともできる．
\(P\)をある試験を受けた学生全体の集合とし， \[a\preceq b \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} a\text{の得点は}b\text{の得点以下である}\] と定める．
任意の学生\(a\)について，\(a\)の得点は自分自身の得点以下なので \(a\preceq a\)である． また，\(a\preceq b\)かつ\(b\preceq c\)ならば， \(a\)の得点は\(c\)の得点以下なので\(a\preceq c\)である． したがって\(\preceq\)は前順序である．
しかし，異なる学生\(a\neq b\)が同じ得点を取った場合には， \[a\preceq b,\qquad b\preceq a\] が同時に成り立つ． 通常の数の大小関係ではこのようなことは起こらない．
この例のように，前順序では異なる2元\(a,b\)について\(a\preceq b\)かつ\(b\preceq a\)となる場合がある．
6.2 反対称律と半順序
通常の大小関係には，さらに \[x\leq y,\quad y\leq x\Rightarrow x=y\] という性質がある． この性質を一般の関係に対して定義する．
集合\(P\)上の関係\(\preceq\)が反対称的 (antisymmetric)であるとは， \[\forall x,y\in P\ (x\preceq y\land y\preceq x\to x=y)\] が成り立つときにいう．この性質を反対称律という．
関係\(R\subset P\times P\)について，反対称律は \[R\cap R^{-1}\subset\operatorname{Id}_P\] と表せる． 実際，\(R\)が反対称的であり\((x,y)\in R\cap R^{-1}\)ならば， \(xRy\)かつ\(yRx\)なので反対称律から\(x=y\)である． したがって\((x,y)\in\operatorname{Id}_P\)である． 逆に\(R\cap R^{-1}\subset\operatorname{Id}_P\)とし，\(xRy\)かつ\(yRx\)とする． すると\((x,y)\in R\cap R^{-1}\)なので\((x,y)\in\operatorname{Id}_P\)，すなわち\(x=y\)となり，反対称律が成り立つ．
例えば\(P=\{1,2,3\}\)上で\(R=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}\)とする． このとき\(R^{-1}=\{(1,1),(2,1),(3,2)\}\)であり，両方に含まれる順序対は\((1,1)\)だけである．
図からも，異なる2頂点の間で両向きの矢印が同時に存在しないことが分かる． ループの有無は反対称律を妨げず，この例では\(R\cap R^{-1}=\{(1,1)\}\subset\operatorname{Id}_P\)である．
「反対称的」は「対称的ではない」という意味ではない． 例えば通常の\(\leq\)は反対称的であるが， \(1\leq2\)であっても\(2\leq1\)ではないので対称的ではない． 一方，恒等関係\(\operatorname{Id}_P\)は対称的かつ反対称的である．
集合\(P\)上の関係\(\preceq\)が 反射律，推移律，反対称律を満たすとき， \(\preceq\)を\(P\)上の半順序 (partial order)， または単に順序 (order)という．
半順序\(\preceq\)を備えた集合\((P,\preceq)\)を 半順序集合 (partially ordered set, poset)， または順序集合という．
\(\preceq\)が文脈から明らかな場合には\((P,\preceq)\)を単に\(P\)と書くこともある． また， \[x\prec y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} x\preceq y\text{かつ}x\neq y\] と書く．
例6.2の得点による関係は， 同点の異なる学生が存在すれば反対称律を満たさないので， 一般には半順序ではない．
6.3 半順序の例
通常の大小関係\(\leq\)は\(\mathbb Z\)上の半順序であり， \((\mathbb Z,\leq)\)は半順序集合である． しかし，同じ集合上にも通常の大小とは異なる半順序を定義できる．
正の整数全体の集合を\(\mathbb Z_{>0}\)とする． 正の整数\(a,b\)に対して， \[a\mid b \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists k\in\mathbb Z_{>0}\ (b=ak)\] と定義し，「\(a\)は\(b\)を割り切る」または 「\(a\)は\(b\)の約数である」という．この関係を整除関係という．
\(\mathbb Z_{>0}\)上の関係\(\preceq\)を \[a\preceq b \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} a\mid b\] で定める．このとき\(\preceq\)は半順序である．
実際，任意の\(a\in\mathbb Z_{>0}\)に対して\(a=a\cdot1\)なので\(a\mid a\)であり， 反射律が成り立つ．
次に\(a\mid b\)かつ\(b\mid c\)とする． ある\(k,\ell\in\mathbb Z_{>0}\)を用いて \(b=ak\)，\(c=b\ell\)と書けるので， \[c=b\ell=(ak)\ell=a(k\ell)\] である．\(k\ell\in\mathbb Z_{>0}\)なので\(a\mid c\)であり，推移律が成り立つ．
最後に\(a\mid b\)かつ\(b\mid a\)とする． ある\(k,\ell\in\mathbb Z_{>0}\)を用いて \(b=ak\)，\(a=b\ell\)と書ける．すると \[a=b\ell=ak\ell\] である．\(a>0\)なので\(k\ell=1\)であり， \(k,\ell\)は正の整数だから\(k=\ell=1\)である． したがって\(a=b\)となり，反対称律も成り立つ．
包含関係も半順序の例である．
集合\(X\)に対し，その冪集合\(2^X\)を考える． \(A,B\in2^X\)に対して \[A\preceq B \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} A\subset B\] と定めると，\(\preceq\)は半順序である．
実際，\(A\subset A\)なので反射律が成り立ち， \(A\subset B\)かつ\(B\subset C\)ならば\(A\subset C\)なので推移律が成り立つ． また，\(A\subset B\)かつ\(B\subset A\)ならば\(A=B\)なので反対称律が成り立つ．
6.4 比較可能性と全順序
通常の大小関係では，任意の2つの整数\(x,y\)に対して \[x\leq y\quad\text{または}\quad y\leq x\] が成り立つ． しかし，一般の半順序では，2つの元の間に順序がつかないことがある．
例えば，約数による順序では\(2\)は\(3\)を割り切らず， \(3\)も\(2\)を割り切らない．したがって \[2\not\preceq3,\qquad 3\not\preceq2\] である．
半順序集合\((P,\preceq)\)と\(x,y\in P\)に対して， \[x\preceq y\quad\text{または}\quad y\preceq x\] が成り立つとき，\(x\)と\(y\)は比較可能 (comparable)であるという．
どちらも成り立たないとき，\(x\)と\(y\)は 比較不可能 (incomparable)であるという．
任意の\(x,y\in P\)が比較可能である半順序を 全順序 (total order)といい， そのような順序を備えた集合を全順序集合という．
\((\mathbb Z,\leq)\)は全順序集合である． 一方，例6.6の約数による順序は， \(2\)と\(3\)が比較不可能なので全順序ではない．
ここで注意すべきなのは，一般の半順序では \[x\not\preceq y\] だからといって\(y\prec x\)とは限らないことである． 「\(x\)は\(y\)以下でない」場合には， \(x\)が\(y\)より大きい可能性だけでなく， \(x\)と\(y\)が比較不可能である可能性もある．
6.5 被覆関係とハッセ図
有限半順序集合の順序関係は，有向グラフとして表すことができる． しかし，半順序の有向グラフには反射律によるループや， 推移律によって自動的に決まる矢印が多数含まれるため， そのままでは情報が冗長になる．
例えば\(P=\{1,2,3,4,5\}\)上の半順序\(\preceq\)を \[\begin{split} \preceq=\{& (1,1),(1,3),(1,4),(1,5), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\ & (3,3),(3,4),(3,5),(4,4),(5,5)\} \end{split}\] で定める．
反射律が成り立つことを知っていれば， \((1,1),\ldots,(5,5)\)という情報は書かなくても復元できる． また， \[1\prec3,\qquad 3\prec5\] が分かれば，推移律から\(1\prec5\)が従う． したがって\(1\prec5\)という情報も省略できる．
ループと推移律から得られる矢印を除いても，もとの順序関係を復元できる．
半順序集合\((P,\preceq)\)と\(x,y\in P\)に対して\(x\prec y\)とする． \[x\prec z\prec y\] を満たす\(z\in P\)が存在しないとき， \(y\)は\(x\)を被覆する (cover)といい， \[x\lessdot y\] と書く．
上の例では，被覆関係は \[1\lessdot3,\qquad 2\lessdot3,\qquad 3\lessdot4,\qquad 3\lessdot5\] だけである．
有限半順序集合に対して，
大きい元ほど上に配置する，
被覆関係\(x\lessdot y\)に対して\(x\)と\(y\)を線で結ぶ，
反射律によるループや，推移律から復元できる辺は書かない
ことで得られる図をハッセ図 (Hasse diagram)という． ただし，(3)は(1)と(2)に従って図を描けば自動的に満たされる．実際，(2)では被覆関係に対応する辺だけを描くので，ループや途中の元を経由して得られる辺は現れない．(3)は，ハッセ図ではこれらの情報を省略することを明示するために記している． 大小の向きは頂点の上下で表すため，辺に矢印は付けない．
元の有向グラフとハッセ図を比較すると次のようになる．
ハッセ図を見れば，2つの元が比較可能かどうかも視覚的に分かる． 例えば\(1\)から\(5\)へ上向きに線をたどれるので\(1\prec5\)であるが， \(1\)と\(2\)の間にはどちらからも他方へ上向きにたどる経路がないので， \(1\)と\(2\)は比較不可能である． 一般に，異なる2元\(x,y\)について\(x\prec y\)であることは，\(x\)から\(y\)へ辺を上向きにたどれることと同値である．単に紙面上で\(y\)の方が高い位置にあるだけでは，\(x\prec y\)とはいえない．辺の交差点も，頂点として明示されていなければ元を表さない．
6.6 ハッセ図の例
\(P=\{1,2,3\}\)を通常の大小関係で順序づけると， \[1<2<3\] なので，ハッセ図は一直線になる．
\(P\)を12の正の約数全体の集合 \[P=\{1,2,3,4,6,12\}\] とし，約数関係によって順序づける． このときハッセ図は次のようになる．
例えば\(1\mid12\)であるが，\(1\)と\(12\)を直接結ぶ線はない． \(1\mid2\mid4\mid12\)などから推移律によって復元できるからである．
\(X=\{1,2,3\}\)とし，\(2^X\)を包含関係で順序づける． このときハッセ図は次のようになる．
この図は3次元立方体の頂点と辺からなるグラフと同じ形をしている． さらに\(Y=\{1,2,3,4\}\)とすると，\(2^Y\)を 「\(4\)を含まない部分集合」と「\(4\)を含む部分集合」に分けることができる． それぞれは\(2^{\{1,2,3\}}\)と同じ構造を持つので，3次元立方体を2つ用意し， 対応する頂点を結んだ図になる．これは4次元超立方体の骨組みである．
実線は各立方体の辺を，破線は\(A\)と\(A\cup\{4\}\)を結ぶ辺を表す．この図の破線も実際の被覆関係であり，線に沿って上へ進むと要素が1つ増える．
一般に，正の整数\(n\)に対して \[[n]:=\{1,\ldots,n\}\] とすると，\(2^{[n]}\)を包含関係で順序づけたハッセ図は \(n\)次元超立方体の骨組みとなる．
このように，半順序は通常の大小関係だけでなく， 約数関係や包含関係など，様々な「順序」を統一的に扱う概念である． ハッセ図を用いることで，有限半順序集合の構造を視覚的に理解することができる．