7. 極大・極小，最大・最小，上限・下限
半順序集合では比較不可能な元が存在するため，「これより大きい元がない」ことと「すべての元以上である」ことは異なる．また，部分集合の元だけでなく，その外側にある元との大小関係も考える必要がある．
7.1 極大元と極小元
半順序集合\((P,\preceq)\)と空でない部分集合\(M\subset P\)を考える．
\(a\in M\)が\(M\)の極大元 (maximal element)であるとは， \(a\prec x\)を満たす\(x\in M\)が存在しないときにいう． 同様に，\(a\in M\)が\(M\)の極小元 (minimal element)であるとは， \(x\prec a\)を満たす\(x\in M\)が存在しないときにいう．
極大元とは，\(M\)の中にそれより大きい元が存在しない元である． すべての元と比較できる必要はないので，極大元は複数存在してもよい．
\(X=\{1,2,3\}\)，\(P=2^X\)とし，\(P\)を包含関係で順序づける．さらに \[M=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}\}\] とする．このとき\(M\)の極大元は\(\{1,2\}\)と\(\{3\}\)であり， 極小元は\(\{1\},\{2\},\{3\}\)である．
特に\(\{3\}\)は\(M\)の他の元と比較不可能なので，極大元であると同時に極小元でもある．
極大元・極小元は，図における頂点の高さだけでは判断できない．対象とする部分集合の中に，その元より大きい元・小さい元が存在するかどうかを調べる．
異なる2つの極大元は比較不可能である．極小元についても同様である．
命題 7.3 の証明
\(a,b\)を異なる極大元とする．もし\(a,b\)が比較可能なら，\(a\prec b\)または\(b\prec a\)のどちらかが成り立つ． これは一方が極大元であることに反する．極小元についても同様である．
有限集合の場合には極大元・極小元は必ず存在する．
空でない有限半順序集合は少なくとも1つの極大元と少なくとも1つの極小元を持つ．
命題 7.4 の証明
任意の元\(x_0\)を1つとる．\(x_0\)が極大元でなければ\(x_0\prec x_1\)となる\(x_1\)をとる． \(x_1\)も極大元でなければ，さらに\(x_1\prec x_2\)となる\(x_2\)をとる． 有限集合ではこの操作を無限に続けることはできないので，有限回で極大元に到達する． 極小元についても上下を逆にした同じ議論でよい．
7.2 最大元と最小元
極大元は「それより大きい元が存在しない」という条件であった． 一方，最大元は「すべての元以上である」という，より強い条件である．
\(a\in M\)が\(M\)の最大元 (maximum element)であるとは， \[\forall x\in M\ (x\preceq a)\] が成り立つときにいう．最大元が存在するとき，それを\(\max M\)と書く． 同様に，\(a\in M\)が\(M\)の最小元 (minimum element)であるとは， \[\forall x\in M\ (a\preceq x)\] が成り立つときにいい，存在するとき\(\min M\)と書く．
\(X=\{1,2,3\}\)，\(P=2^X\)とし，\(P\)を包含関係で順序づける．さらに \[M=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\] とする．このとき\(M\)の最大元は\(\{1,2\}\)であるが，最小元は存在しない．
最大元は存在すれば一意であり，極大元である．最小元についても同様である．
命題 7.7 の証明
\(a,b\)がともに最大元ならば\(a\preceq b\)かつ\(b\preceq a\)である．反対称律より\(a=b\)である． また\(a\)が最大元ならば\(a\prec x\)となる\(x\in M\)は存在しないので，\(a\)は極大元である． 最小元についても同様である．
以上を踏まえると，極大元と最大元の違いは次のようにまとめられる．
| 極大元 | 最大元 | |
|---|---|---|
| 意味 | これより大きい\(M\)の元がない | すべての\(M\)の元以上 |
| 個数 | 複数でもよい | 存在すれば1個 |
| その元と比較不可能な\(M\)の元 | あってよい | 存在しない |
全順序では比較不可能な元が存在しないので，極大元と最大元の違いはなくなる．
全順序集合の空でない部分集合\(M\)に極大元\(a\)が存在すれば，\(a\)は最大元である． 極小元についても同様である．
命題 7.8 の証明
任意の\(x\in M\)をとる．全順序なので\(x\preceq a\)または\(a\preceq x\)である． もし\(a\prec x\)なら\(a\)の極大性に反するので，必ず\(x\preceq a\)である．したがって\(a=\max M\)である．
したがって，空でない有限全順序集合は最大元と最小元を持つ． これは，有限個の実数には最大値と最小値が存在することの一般化である．
7.3 上界・下界と上限・下限
最大元は\(M\)自身の元でなければならない． 上界・下界は，\(M\)の外側も含めた\(P\)全体の中で考える．
\(a\in P\)が\(M\)の上界 (upper bound)であるとは，すべての\(x\in M\)に対して\(x\preceq a\)となるときにいう． 上界全体を \[U(M):=\{a\in P:\forall x\in M\ (x\preceq a)\}\] と書く．同様に，\(b\in P\)が\(M\)の下界 (lower bound)であるとは，すべての\(x\in M\)に対して\(b\preceq x\)となるときにいう．下界全体を \[L(M):=\{b\in P:\forall x\in M\ (b\preceq x)\}\] と書く．\(U(M)\neq\emptyset\)なら\(M\)は上に有界，\(L(M)\neq\emptyset\)なら下に有界という．
\(U(M)\)の最小元が存在するとき，それを\(M\)の上限 (supremum)といい\(\sup M\)と書く． \(L(M)\)の最大元が存在するとき，それを\(M\)の下限 (infimum)といい\(\inf M\)と書く．
\(X=\{1,2,3\}\)，\(P=2^X\)とし，\(P\)を包含関係で順序づける．さらに \[M=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\] とする．\(M\)の上界は\(\{1,2\}\)と\(\{1,2,3\}\)であり，上限は\(\{1,2\}\)である． 一方，下界は\(\emptyset\)だけなので\(\inf M=\emptyset\)である．
ここで\(\sup M=\{1,2\}\in M\)なので，\(\sup M\)は同時に最大元でもある． 一方，\(\inf M=\emptyset\notin M\)なので，\(M\)には最小元が存在しない． このように，上限・下限は\(M\)自身に属する必要はない．
\(P=\{a,b,c,d,e\}\)に対し，次のハッセ図で半順序を定める．
\(M=\{c,d\}\)とすると，\(M\)の上界は\(e\)だけなので\(\sup M=e\)である． 一方，\(M\)の下界は\(a,b\)であり，\(a,b\)は比較不可能なので下限は存在しない．
したがって，上界・下界が存在しても上限・下限が存在するとは限らない．
上限・下限は存在すれば一意である．また，\(\sup M\in M\)ならば\(\sup M=\max M\)であり， \(\inf M\in M\)ならば\(\inf M=\min M\)である．
命題 7.12 の証明
上限は\(U(M)\)の最小元なので，最小元の一意性から一意である． \(a=\sup M\in M\)とすると，\(a\)は上界でもあるので，任意の\(x\in M\)に対して\(x\preceq a\)である． したがって\(a=\max M\)である．下限についても同様である．
7.4 無限集合の例
有限半順序集合では極大元・極小元が必ず存在したが，無限集合ではそうとは限らない． 通常の大小関係を入れた\(\mathbb R\)で \[M=[0,\sqrt2)=\{x\in\mathbb R:0\leq x<\sqrt2\}\] とする．このとき\(\min M=\inf M=0\)，\(\sup M=\sqrt2\)であるが，最大元も極大元も存在しない． 実際，極大元\(a\in M\)が存在したとする．このとき， \[a<\frac{a+\sqrt2}{2}<\sqrt2 \qquad\text{かつ}\qquad \frac{a+\sqrt2}{2}\in M\] であるから，\(a\)が極大元であることに矛盾する．よって，\(M\)は極大元を持たず，特に最大元を持たない．
同様に \[N=\left\{\frac1n:n=1,2,3,\ldots\right\}\] とすると，\(\max N=\sup N=1\)であるが，最小元も極小元も存在せず，\(\inf N=0\notin N\)である．
極大元・最大元・上界・上限を比較すると，次のようになる．
| 概念 | その元が属する集合 | 意味 |
|---|---|---|
| 極大元 | \(M\) | \(M\)の中にそれより大きい元がない |
| 最大元 | \(M\) | \(M\)のすべての元以上 |
| 上界 | \(P\) | \(M\)のすべての元以上 |
| 上限 | \(P\) | 上界全体の中で最も小さい |
極大元・最大元は部分集合\(M\)の元に関する条件であり，上界・上限は\(M\)を含む順序集合\(P\)の中で定まる．