2.1：合同式の復習
合同式や同値関係の定義は情報数理Bで学習済みのため，ここでは簡単に復習する．定義 2.1
$0$でない整数$m$に対し，整数$a$と$b$が$m$を法として合同であるとは，$a-b \in m \mathbb{Z}$となるときにいう．
つまり$m|a-b$である．
このとき，
\[
a \equiv_m b \mbox{または} a \equiv b \ {\rm mod}\ m
\]
と書く．この表示を合同式という．合同でないときは$a \not\equiv_m b$や$a \not\equiv b\ {\rm mod}\ m$と書く．
法$m$が文脈から明らかのときは，単に$a \equiv b$と書くこともある．
例えば，$7 \equiv_5 2$や$7 \not\equiv_3 2$である．合同式が何を意味するかというと，これは法$m$で割ったときの余りが等しいということに他ならない．
命題 2.2
$a \equiv_m b$であることと，$a$と$b$をそれぞれ$m$で割った余りが一致することは同値である．
証明
$a$と$b$をそれぞれ$m$で割った商と余りをそれぞれ$q,q'$と$r,r'$とする．つまり，
$a=mq+r,b=mq'+r'$かつ$0 \leq r,r' \lt |m|$である．
（$\Rightarrow$）$a \equiv_m b$であると仮定する．このとき，$a-b \in m \mathbb{Z}$よりある整数$n$を使って$a-b=mn$と書ける．すると
\[
a-b=(mq+r)-(mq'+r')=m(q-q')+(r-r')=mn
\]
より$r-r'=m(n-(q-q'))$となる．つまり，$r-r' \in m \mathbb{Z}$である．
余りの条件から，$0 \leq |r-r'| \lt |m|$であるので，これは$r-r'=0$，つまり$r=r'$を意味する．
（$\Leftarrow$）$r=r'$を仮定する．このとき，
\[
a-b=(mq+r)-(mq'+r')=m(q-q')+(r-r')=m(q-q') \in m \mathbb{Z}.
\]
よって$a \equiv_m b$である．
次に，同値関係の定義を復習する．
定義 2.3
$X$に対し，$X \times X$の部分集合$R$を$X$上の（二項）関係と呼ぶ．$R$を$X$上の二項関係$R$とする．記法として，$(a,b) \in R$のとき$a R b$と書く．
同値関係は「何らかの意味で等しい」を意味する．もちろん通常の「等しい（$=$）」は同値関係である．合同式は「余りが等しい」を意味していたので，合同式も同値関係となる．
$R$が反射的であるとは，任意の$x \in X$に対して$xRx$であるときにいう．
$R$が対称的であるとは，任意の$a,b \in X$に対して$aRb$ならばいつでも$bRa$であるときにいう．
$R$が推移的であるとは，任意の$a,b,c \in X$に対して，$aRb$かつ$bRc$ならばいつでも$aRc$となるときをいう．
反射的，対称的かつ推移的な二項関係を同値関係と呼ぶ．同値関係には$\sim$という記号がよく使われる．
命題 2.4
合同式$\equiv_m$を$\mathbb{Z}$上の二項関係としてみると，$\equiv_m$は同値関係である．
証明
情報数理Bの4回目を参照．
$m=\pm 1$の場合，任意の整数$a,b$に対して$a \equiv_m b$である．この場合，合同式の世界では「全ての整数は等しい」ということになるので考えるべきことはほとんどない．以降，$m$は$|m| \geq 2$を満たす整数とする．