2.2：合同式の演算
次に合同式の演算を見ていく．命題 2.5
$a,b,c,d$を$a \equiv_m b$かつ$c \equiv_m d$を満たす整数とする．
証明
仮定より整数$k,\ell$を用いて$a-b=mk, c-d=m\ell$と書ける．
(1) \[(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=mk-m\ell=m(k-\ell) \in \mathbb{Z}\] となるので$a+c \equiv_m b+d$である． また \[ac-bd=a(c-d)+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)=am\ell+dmk=m(a\ell+dk) \in m\mathbb{Z}\] から$ac \equiv_m bd$である．
(2) 仮定より整数$t$を用いて$m=nt$と書ける． このとき，$a-b=(nt)k=n(tk) \in n \mathbb{Z}$である．よって$a \equiv_n b$である．
(1) \[(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=mk-m\ell=m(k-\ell) \in \mathbb{Z}\] となるので$a+c \equiv_m b+d$である． また \[ac-bd=a(c-d)+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)=am\ell+dmk=m(a\ell+dk) \in m\mathbb{Z}\] から$ac \equiv_m bd$である．
(2) 仮定より整数$t$を用いて$m=nt$と書ける． このとき，$a-b=(nt)k=n(tk) \in n \mathbb{Z}$である．よって$a \equiv_n b$である．
系 2.6
$a,b$を$a \equiv_m b$を満たす整数とする．このとき，任意の整数$c$に対し，以下が成り立つ．
これらの結果から$\equiv_m$の世界では$+,-,\times$は「$=$」と同じように計算ができる．ただし，$\div$はできない．実際，$6 \equiv_4 2$であるが，両辺を$2$で割ると$3 \not\equiv_4 1$である．
一方で，ある条件下だと$\div$をすることができる．
命題 2.7
$c$を$0$でない整数，$a,b$を整数とし，$ac \equiv_m bc$を満たすとする．
このとき以下が成り立つ．
証明
仮定から整数$n$を用いて$ac-bc=mn$と書ける．
(1) $c(a-b)=mn$であり，両辺を$c$で割ると， \[a-b=\dfrac{m}{c}n\]となる．$c | m$より$\dfrac{m}{c}$は整数であるので，$a \equiv b \ {\rm mod}\ \dfrac{m}{c}$が成り立つ．
(2) $c(a-b)=mn$から$m|c(a-b)$である．$c$と$m$は互いに素なので命題 1.11より$m | a-b$である．よって$a \equiv_m b$が成り立つ．
(1) $c(a-b)=mn$であり，両辺を$c$で割ると， \[a-b=\dfrac{m}{c}n\]となる．$c | m$より$\dfrac{m}{c}$は整数であるので，$a \equiv b \ {\rm mod}\ \dfrac{m}{c}$が成り立つ．
(2) $c(a-b)=mn$から$m|c(a-b)$である．$c$と$m$は互いに素なので命題 1.11より$m | a-b$である．よって$a \equiv_m b$が成り立つ．
定義 2.8
整数$a$が法$m$に関して可逆であるとは，$ax \equiv_m 1$を満たす整数$x$が存在するときにいう．
このとき，$x$を法$m$に関する$a$の逆元という．
例えば，$2 \cdot 3 \equiv_5 1$であるので，$3$は$2$の法$5$に関する逆元であり，逆に$2$は$3$の法$5$に関する逆元である．
逆元はいつでも存在するとは限らない．つまり，可逆であるとは限らない．例えば，$2$は法$4$に関して逆元を持たない（理由を考えよ）．一方で，もし逆元が存在すれば，$m$を法として一意的に定まる．
命題 2.9
$a$を法$m$に関して可逆な整数とする．
$x,y$がともに$a$の法$m$に関する逆元であれば，$x \equiv_m y$である．
証明
仮定より，$ax \equiv_m ay \equiv_m 1 $であるから，
\[
x \equiv_m x \cdot 1 \equiv_m x(ay) \equiv_m (ax)y \equiv_m 1 \cdot y \equiv_m y
\]
が成り立つ．
余りの世界では，通常の整数の積では起きない不思議な現象がある．実際，$2 \not\equiv_6 0$かつ$3 \not\equiv_6 0$であるが，$2 \cdot 3 \equiv_6 0$となる．このような性質に名前をつけよう．
定義 2.10
整数$a$が法$m$に関して零因子であるとは，$az \equiv_m 0$かつ$z\not\equiv_m 0$を満たす整数$z$が存在するときにいう．
上の議論より，$2$と$3$はともに法$6$に関する零因子である．
また$0$は任意の法に関する零因子である．
今定義した，逆元と零因子は実は真逆の性質である.
定理 2.11
整数$a$に対して次は同値である．
証明
((1) $\Rightarrow$ (2)) $\gcd(a,m)=1$と系 1.10から$ax+my=1$となる整数$x,y$が存在する．このとき，$ax \equiv_m 1$であるので，$a$は法$m$に関して可逆である．
((2) $\Rightarrow$ (3)) 整数$x$を$a$の法$m$に関する逆元とする．つまり，$ax \equiv_m 1$である．今，$a$が法$m$に関して零因子であると仮定する．このとき，ある整数$z$に関して$az \equiv_m 0$かつ$z \not\equiv_m 0$である．すると， \[ z \equiv_m 1 \cdot z \equiv_m (ax)z \equiv_m x(az) \equiv_m x \cdot 0 \equiv_m 0 \] となり，矛盾する．よって$a$は法$m$に関して零因子ではない
((3) $\Rightarrow$ (1)) $d=\gcd(a,m)$とおく．このとき，整数$a',m'$を用いて$a=a'd, m=m'd$と書ける． すると， \[ am'\equiv_m (a'd)m'\equiv_m a'(m'd) \equiv_m a'm \equiv_m 0 \] となるが，仮定より$a$は法$m$に関する零因子ではないので，$m' \equiv_m 0$とならなければならない．つまり，$m' \in m \mathbb{Z}$であるので，ある整数$c$を用いて$m'=mc$と書ける．すると， $m=m'd=mcd$であるので，$cd=1$，よって$d=1$となる．
((2) $\Rightarrow$ (3)) 整数$x$を$a$の法$m$に関する逆元とする．つまり，$ax \equiv_m 1$である．今，$a$が法$m$に関して零因子であると仮定する．このとき，ある整数$z$に関して$az \equiv_m 0$かつ$z \not\equiv_m 0$である．すると， \[ z \equiv_m 1 \cdot z \equiv_m (ax)z \equiv_m x(az) \equiv_m x \cdot 0 \equiv_m 0 \] となり，矛盾する．よって$a$は法$m$に関して零因子ではない
((3) $\Rightarrow$ (1)) $d=\gcd(a,m)$とおく．このとき，整数$a',m'$を用いて$a=a'd, m=m'd$と書ける． すると， \[ am'\equiv_m (a'd)m'\equiv_m a'(m'd) \equiv_m a'm \equiv_m 0 \] となるが，仮定より$a$は法$m$に関する零因子ではないので，$m' \equiv_m 0$とならなければならない．つまり，$m' \in m \mathbb{Z}$であるので，ある整数$c$を用いて$m'=mc$と書ける．すると， $m=m'd=mcd$であるので，$cd=1$，よって$d=1$となる．
補足 2.12
命題 2.7の(2)から$m$が素数であれば，$\equiv_m$の世界では$+,-,\times,\div$の四則演算ができることがわかる．逆に，四則演算ができるのは$m$が素数のときに限ることも示せる．