3.3：群の基本的性質
次に群の定義の(G1)，(G2)，(G3)から導かれる群の基本的な性質を証明する．命題 3.3.1 (単位元と逆元の一意性)
$G$を群とする．
証明
(1) $a \circ b =a$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると，
\[
b=e \circ b=a^{-1} \circ a \circ b= a^{-1} \circ a=e
\]
である．$b \circ a =b$の場合は右から$b^{-1}$を掛けると$a=e$が従う．
(2) $a \circ b =e$の両辺の左から$a^{-1}$を掛けると \[ a^{-1} \circ ( a \circ b) = (a^{-1} \circ a) \circ b=e \circ b=b=a^{-1}\circ e=a^{-1}\]である． 同様に，右から$b^{-1}$を掛けると $a=b^{-1}$が従う．
(2) $a \circ b =e$の両辺の左から$a^{-1}$を掛けると \[ a^{-1} \circ ( a \circ b) = (a^{-1} \circ a) \circ b=e \circ b=b=a^{-1}\circ e=a^{-1}\]である． 同様に，右から$b^{-1}$を掛けると $a=b^{-1}$が従う．
命題 3.3.2
$G$を群とする． このとき，$a,b,c \in G$に対し
以下が成り立つ．
証明
(1) $a \circ b= c$の両辺の右から$b^{-1}$を掛けると
\begin{align*}
(a \circ b) \circ b^{-1}&=c \circ b^{-1}& \\
a \circ (b \circ b^{-1})&=c \circ b^{-1}&(({\rm G1})より)\\
a \circ e&=c \circ b^{-1}&(({\rm G3})より)\\
a &=c \circ^{-1} b&(({\rm G1})より)
\end{align*}
となる．
同様に，左から$a^{-1}$を掛けることで$b=a^{-1} \circ c$を得る．
(2)と(3)は(1)と同様に証明できる．
(4) 示すべきことは$a \circ b$の逆元が$b^{-1} \circ a^{-1}$となることである． \begin{align*} (a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1})&=a\circ (b \circ (b^{-1} \circ a^{-1})) &(({\rm G1})より)\\ &=a \circ ((b\circ b^{-1}) \circ a^{-1})&(({\rm G1})より)\\ &=a \circ (e \circ a^{-1})&(({\rm G3})より)\\ &=a \circ a^{-1}&(({\rm G2})より)\\ &=e&(({\rm G3})より) \end{align*} となる． 同様に，$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)=e$も示せるので，$(a\circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$が成り立つ．
(5) $a^{-1}$の定義から$a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$である．これは$a$が$a^{-1}$の逆元であることも意味するので，$(a^{-1})^{-1}=a$である．
(2)と(3)は(1)と同様に証明できる．
(4) 示すべきことは$a \circ b$の逆元が$b^{-1} \circ a^{-1}$となることである． \begin{align*} (a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1})&=a\circ (b \circ (b^{-1} \circ a^{-1})) &(({\rm G1})より)\\ &=a \circ ((b\circ b^{-1}) \circ a^{-1})&(({\rm G1})より)\\ &=a \circ (e \circ a^{-1})&(({\rm G3})より)\\ &=a \circ a^{-1}&(({\rm G2})より)\\ &=e&(({\rm G3})より) \end{align*} となる． 同様に，$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)=e$も示せるので，$(a\circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$が成り立つ．
(5) $a^{-1}$の定義から$a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$である．これは$a$が$a^{-1}$の逆元であることも意味するので，$(a^{-1})^{-1}=a$である．