(1) $a \circ b =a$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると， \[ b=e \circ b=a^{-1} \circ a \circ b= a^{-1} \circ a=e \] である．$b \circ a =b$の場合は右から$b^{-1}$を掛けると$a=e$が従う．

(2) $h,h'$が$a$の逆元であるとする．このとき， \[ \begin{cases} a \circ h = h \circ a = e\\ a \circ h' = h' \circ a = e\\ \end{cases} \] であるので， \[ h= h \circ e = h \circ (a \circ h')=(h \circ a) \circ h'=e \circ h' = h' \] となり，$a$の逆元は一意である．

(1) $a \circ b= c$の両辺の右から$b^{-1}$を掛けると \begin{align*} (a \circ b) \circ b^{-1}&=c \circ b^{-1}& \\ a \circ (b \circ b^{-1})&=c \circ b^{-1}&(({\rm G1})より)\\ a \circ e&=c \circ b^{-1}&(({\rm G3})より)\\ a &=c \circ^{-1} b&(({\rm G1})より) \end{align*} となる． 同様に，左から$a^{-1}$を掛けることで$b=a^{-1} \circ c$を得る．

(2)と(3)は(1)と同様に証明できる．

(4) 示すべきことは$a \circ b$の逆元が$b^{-1} \circ a^{-1}$となることである． \begin{align*} (a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1})&=a\circ (b \circ (b^{-1} \circ a^{-1})) &(({\rm G1})より)\\ &=a \circ ((b\circ b^{-1}) \circ a^{-1})&(({\rm G1})より)\\ &=a \circ (e \circ a^{-1})&(({\rm G3})より)\\ &=a \circ a^{-1}&(({\rm G2})より)\\ &=e&(({\rm G3})より) \end{align*} となる． 同様に，$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)=e$も示せるので，$(a\circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$が成り立つ．

(5) $a^{-1}$の定義から$a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$である．これは$a$が$a^{-1}$の逆元であることも意味するので，$(a^{-1})^{-1}=a$である．