3.7：*互換
対称群$\mathfrak{S}_n$の元をもう少し分解して考える．定義 3.7.1
$1 \leq i \neq j \leq n$に対して，$i$と$j$のみ入れ替える置換を
\[(i \ j):=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n\\
1 & 2 & \cdots & j & \cdots & i & \cdots & n
\end{pmatrix} \in \mathfrak{S}_n\]
と表記する．このように，$2$つの数を入れ替える置換を互換と呼ぶ．特に，隣り合う数を入れ替える互換$(1 \ 2), (2 \ 3), \ldots, (n-1 \ n)$を隣接互換と呼ぶ．
明らかに互換$(i \ j)$の逆元は$(i \ j)$，つまり$(i \ j)^{-1}=(i \ j)$であることに注意する．
実は任意の置換はいくつかの（隣接）互換の積で表すことができる．
定理 3.7.2
任意の$\sigma \in \mathfrak{S}_n$に対し，隣接互換
$\tau_1,\ldots,\tau_N$が存在して
\[
\sigma=\tau_N \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1
\]
と書ける．
証明
$s_i=(i\ i+1)$とおく．
まず，$\sigma(n)=i$とする．
もし$i < n$ ならば，
\[
\sigma_1:=s_{n-1}\circ s_{n-2}\circ \cdots \circ s_i\circ \sigma
\]
とおく．このとき
\[
\sigma_1(n)
=
(s_{n-1}\circ s_{n-2}\circ \cdots \circ s_i)(\sigma(n))
=
(s_{n-1}\circ s_{n-2}\circ \cdots \circ s_i)(i)
=
n
\]
である．もし$i=n$ならば，$\sigma_1:=\sigma$とおく．
次に，$\sigma_1(n-1)=j$とする．
すでに$\sigma_1(n)=n$であるから，$j < n$である．
また，$\sigma_1$は全単射なので$j\neq n$であり，したがって$j< n-1$または$j=n-1$である．
もし$j < n-1 $ならば，
\[
\sigma_2:=s_{n-2}\circ s_{n-3}\circ \cdots \circ s_j\circ \sigma_1
\]
とおく．このとき
\[
\sigma_2(n-1)
=
(s_{n-2}\circ s_{n-3}\circ \cdots \circ s_j)(\sigma_1(n-1))
=
(s_{n-2}\circ s_{n-3}\circ \cdots \circ s_j)(j)
=
n-1
\]
である．また，ここで用いた隣接互換は
\[
s_j,s_{j+1},\ldots,s_{n-2}
\]
だけであり，いずれも$n$を動かさない．したがって
\[
\sigma_2(n)=n
\]
も成り立つ．もし$j=n-1$ならば，$\sigma_2:=\sigma_1$とおく．
この操作を有限回繰り返すことで，ある隣接互換
$\tau_1,\ldots,\tau_N$を用いて
\[
\tau_1\circ \tau_2 \circ \cdots \circ \tau_N \circ \sigma
=
1_n
\]
と書ける．
ここで，各$\tau_i$は隣接互換なので
\[
\tau_i^{-1}=\tau_i
\]
である．したがって，左から$\tau_N\circ \cdots \circ \tau_2\circ \tau_1
$を掛けることで
\[
\sigma
=
\tau_N\circ \cdots \circ \tau_2\circ \tau_1
\]
を得る．
この定理の例を見よう．
例 3.7.3
$\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 1 & 2
\end{pmatrix}$
を隣接互換の積で表す．
$\sigma(4)=2$なので，
\[
\sigma'=(3 \ 4) \circ (2 \ 3) \circ \sigma
\]
と置くと，
$\sigma'=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}$
となる．$\sigma'(3)=1$なので，
\[
\sigma''=(2 \ 3) \circ (1 \ 2) \circ \sigma'
\]
と置くと
$\sigma''=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}=1_4$
となる．したがって，
\[
(2 \ 3) \circ (1 \ 2) \circ (3 \ 4) \circ (2 \ 3) \circ \sigma=1_4
\]
となり，左から$(2 \ 3) \circ (3 \ 4) \circ (1 \ 2) \circ (2 \ 3)$を掛けることで\[
\sigma=(2 \ 3) \circ (3 \ 4) \circ (1 \ 2) \circ (2 \ 3)
\]
を得る．
補足 3.7.4
上記の定理と例はあみだくじを考えるとわかりやすい．例えば，
\[\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 1 & 2
\end{pmatrix}=(2 \ 3) \circ (3 \ 4) \circ (1 \ 2) \circ (2 \ 3)\]
という等式は，下記のあみだくじに対応している．
つまり，あみだくじの横線は隣接互換に対応しており，隣接互換の右から順に，あみだくじでは上から対応する横線を引いていくと，もとの置換が得られるのである．したがって，すべての置換はあみだくじによって表現することができ，あみだくじを書けば隣接互換での積も得られるのである．また置換の積は2つのあみだくじを繋げることに対応している．
置換が隣接互換の積で表せられることがわかったが，その表示は一意的ではない．
例えば，$(1 \ 2)=(1 \ 2) \circ (2 \ 3) \circ (2 \ 3)$である．
しかし，このような表し方において現れる隣接互換の個数の「偶奇」が，
表し方によらず一定となる．
つまり，あみだくじの横線は隣接互換に対応しており，隣接互換の右から順に，あみだくじでは上から対応する横線を引いていくと，もとの置換が得られるのである．したがって，すべての置換はあみだくじによって表現することができ，あみだくじを書けば隣接互換での積も得られるのである．また置換の積は2つのあみだくじを繋げることに対応している．
定理 3.7.5
$\sigma\in\mathfrak{S}_n$ を隣接互換の積として
\[
\sigma=\tau_N\circ\cdots\circ\tau_1
\]
と表すとき，
隣接互換の個数 $N$ の偶奇は，この表し方によらず一定である．
この定理の証明のために次を定義する．
定義 3.7.6
$\sigma\in\mathfrak{S}_n$ に対し，集合
\[
{\rm inv}(\sigma)
:=\{(i,j)\mid 1\le i< j\le n,\ \sigma(i)>\sigma(j)\}
\]
を考える．このとき，${\rm Inv}(\sigma)=\# {\rm inv}(\sigma)$
を $\sigma$ の転倒数と呼ぶ．
それでは定理3.7.5を証明する．
定理3.7.5の証明
まず，隣接互換が転倒数に与える影響を調べる．
$k\in\{1,\ldots,n-1\}$ とし，隣接互換 $(k\ k+1)$ を考える．
$\sigma':=(k \ k+1) \circ \sigma$とする．
$1 \leq i \leq n$に対し，$i \neq k,k+1$であれば，$\sigma'(i)=\sigma(i)$であることに注意する．
すると，$1 \leq i \leq k-1$と$k+2 \leq j \leq n$に対し，
この定理により，置換の符号が定義できる．
- $(i,k) \in {\rm inv}(\sigma) \iff (i,k+1) \in {\rm inv}(\sigma')$，
- $(i,k+1) \in {\rm inv}(\sigma) \iff (i,k) \in {\rm inv}(\sigma')$，
- $(k+1,j) \in {\rm inv}(\sigma) \iff (k,j) \in {\rm inv}(\sigma')$，
- $(k,j) \in {\rm inv}(\sigma) \iff (k+1,j) \in {\rm inv}(\sigma')$，
- $(i,j) \in {\rm inv}(\sigma) \iff (i,j) \in {\rm inv}(\sigma')$
定義 3.7.7
$\sigma\in\mathfrak{S}_n$ に対し，
\[
\operatorname{sgn}(\sigma)=\begin{cases}
+1 & \mbox{（$\sigma$が偶数個の隣接互換の積で書けるとき）}\\
-1 & \mbox{（$\sigma$が奇数個の隣接互換の積で書けるとき）}
\end{cases}
\]
を$\sigma$
の符号と呼ぶ．
また，$\operatorname{sgn}(\sigma)=+1$のとき，$\sigma$ を
偶置換と呼び，
$\operatorname{sgn}(\sigma)=-1$のとき，$\sigma$ を
奇置換と呼ぶ．
定理3.7.5の証明から次が成り立つ．
系 3.7.8
$\sigma\in\mathfrak{S}_n$ に対し，
\[
\operatorname{sgn}(\sigma)=\begin{cases}
+1 & \mbox{（${\rm Inv}(\sigma)$が偶数のとき）}\\
-1 & \mbox{（${\rm Inv}(\sigma)$が奇数のとき）}
\end{cases}
\]
が成り立つ．