4.4：＊群の生成
巡回群$\langle a \rangle$はその生成系である$a$だけで表現することができる．一般の群でも何かしら少ない情報で表現できたほうが便利である．そこで次のような集合を考える．定義 4.4.1
群$G$と$G$の空でない部分集合$S$をとる．また$S^{-1}=\{a^{-1} : a \in S \}$とする．このとき，$G$の部分集合
\[
\langle S \rangle :=\{x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n : n \in \mathbb{N}, x_1,\ldots,x_n \in S \cup S^{-1}\}
\]
を考える（つまり，$\langle S \rangle$は$S$または$S^{-1}$の有限個の元の積で表される$G$の元全体の集合である）．このとき，$\langle S \rangle$は$G$の部分群である．さらに，$\langle S \rangle$は$S$を含む最小の$G$の部分群である．つまり，$H$が$G$の部分群で$S \subset H$を満たすとき，$\langle S \rangle \subset H$が成り立つ．
証明
任意の$a,b \in \langle S \rangle$をとると，$x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m \in S \cup S^{^1}$を用いて$a=x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n,b=y_1 \circ y_2 \circ \cdots \circ y_m$と書ける．
(H1) $a^{-1}=x_n^{-1}\circ \cdots \circ x_2^{-1} \circ x_1^{-1}$であり，$x_1^{-1} ,\ldots,x_n^{-1} \in S \cup S^{^1}$が成り立つので，$a^{-1} \in \langle S \rangle$である．
(H2) $a \circ b$を考えると， \[ a\circ b=x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n \circ y_1 \circ y_2 \circ \cdots \circ y_m \] であるので，$a \circ b \in \langle S \rangle$である．
以上より，$\langle S \rangle$は$G$の部分群である．
最後に最小性を示す．$H$を$G$の部分集合で$S \subset H$を満たすとする．(H1)の性質から$S^{-1} \subset H$が成り立つ．また(H2)の性質から$x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n \in H$である．ただし，$n \in \mathbb{N}, x_1,\ldots,x_n \in S \cup S^{^1}$である．これは$\langle S \rangle \subset H$を意味するので，証明が完了した．
(H1) $a^{-1}=x_n^{-1}\circ \cdots \circ x_2^{-1} \circ x_1^{-1}$であり，$x_1^{-1} ,\ldots,x_n^{-1} \in S \cup S^{^1}$が成り立つので，$a^{-1} \in \langle S \rangle$である．
(H2) $a \circ b$を考えると， \[ a\circ b=x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n \circ y_1 \circ y_2 \circ \cdots \circ y_m \] であるので，$a \circ b \in \langle S \rangle$である．
以上より，$\langle S \rangle$は$G$の部分群である．
最後に最小性を示す．$H$を$G$の部分集合で$S \subset H$を満たすとする．(H1)の性質から$S^{-1} \subset H$が成り立つ．また(H2)の性質から$x_1\circ x_2 \cdots \circ x_n \in H$である．ただし，$n \in \mathbb{N}, x_1,\ldots,x_n \in S \cup S^{^1}$である．これは$\langle S \rangle \subset H$を意味するので，証明が完了した．
定義 4.4.2
群$G$に対し，$G$の空でない部分集合$S$が
\[
G=\langle S \rangle
\]
を満たすとき，$G$は$S$で生成されるといい，$S$を$G$の生成系という．また$S$が有限集合$S=\{x_1,\ldots,x_n\}$のとき，$\langle S \rangle$は$\langle x_1,\ldots,x_n \rangle$と略記する．$G$が有限な生成系を持つとき，$G$は有限生成であるという．
例 4.4.3
定理3.7.2より，$\mathfrak{S}_n$は隣接互換全体の集合で生成される．つまり，
\[
\mathfrak{S}_n=\langle (1 \ 2), (2 \ 3), \ldots,(n-1, \ n) \rangle
\]
が成り立つ．
実際，$n=3$のとき，
\begin{align*}
\mathfrak{S}_3&=\left\{\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\right\}\\
&=\{(1 \ 2) \circ (1 \ 2), (2 \ 3), (1 \ 2), (1 \ 3) \circ (1 \ 2), (2 \ 3)\circ (1 \ 2), (1 \ 2) \circ (2 \ 3), (1 \ 2) \circ (2 \ 3) \circ (1 \ 2)\}\\
&=\langle (1 \ 2), (2 \ 3) \rangle
\end{align*}
となる．
補足 4.4.4
群$G$に対し，明らかに$G=\langle G \rangle$であるので，$G$は必ず生成系を持つ．したがって，有限群は必ず有限生成である．