6.1：剰余類
商集合の性質を少し復習する．集合$X$とその同値関係$\sim$に対し，$a \in X$の同値類$[a]_{\sim}$というのは，$a$と同値な$X$の元全体の集合，つまり，$\{b \in X: a \sim b\}$であった．これは，$a$と何らかの意味で等しいものでグループを作るということである．そのグループを集めた集合が商集合$X/{\sim}$であった．つまり，$X/{\sim}$は集合$X$を$\sim$でグループ分けするという操作になる．これを集合$X$の分割といった．正確に定義すると，分割は以下で定義される．定義 6.1
集合$X$の分割とは，$X$の部分集合族$\{X_{\lambda} : \lambda \in \Lambda\}$で以下の条件を満たすものである．
このとき，$X=\displaystyle\bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$と表現する．
命題 6.2
集合$X$とその同値関係$\sim$に対し，商集合$X/{\sim}$は$X$の分割となる．つまり，$S$を$X/{\sim}$の完全代表系とすれば，
\[
X=\bigsqcup_{a \in S} [a]_{\sim}
\]
となる．
証明
情報数理Bの5回目を参照．
それでは群とその部分群から同値関係を定義する．
$G$を群とし，$H$を$G$の部分群とする．
このとき，$G$上の関係$\equiv_l$を以下のように定義する．
\begin{align*}
a \equiv_l b &\underset{{\rm def}}{\iff} b^{-1} \circ a \in H\\
&\iff
a=b \circ hを満たすh \in Hが存在する.\end{align*}
また$G$上の関係$\equiv_r$を以下のように定義する．
\begin{align*}
a \equiv_r b &\underset{{\rm def}}{\iff} a \circ b^{-1} \in H\\
&\iff
a=h \circ bを満たすh \in Hが存在する.\end{align*}
命題 6.3
$\equiv_l$と$\equiv_r$はともに$G$上の同値関係である．
証明
$\equiv_l$の場合のみ証明する．
（反射律）任意の$a \in G$に対し，$a^{-1} \circ a = e \in H$であるので$a \equiv_l a$である．よって$\equiv_l$は反射的である．
（対称律）任意の$a, b \in G$で$a \equiv_l b$となるものをとる．このとき，$b^{-1} \circ a \in H$である．$H$が部分群であるので \[ a^{-1} \circ b = (b^{-1} \circ a)^{-1} \in H \] が従う．よって$b \equiv_l a$となり$\equiv_l$は対称的である．
（推移律）任意の$a,b,c \in G$で$a \equiv_l b$かつ$b \equiv_l c$となるものをとる．このとき，$b^{-1} \circ a \in H$かつ$c^{-1} \circ b \in H$である．すると，$H$が部分群であるので \[ c^{-1} \circ a = c^{-1} \circ e \circ a=c^{-1} \circ (b \circ b^{-1}) \circ a=(c^{-1} \circ b) \circ ( b^{-1} \circ a) \in H \] が従う．よって$a \equiv_l c$となり$\equiv_l$は推移的である． 以上より$\equiv_l$は同値関係である．
（反射律）任意の$a \in G$に対し，$a^{-1} \circ a = e \in H$であるので$a \equiv_l a$である．よって$\equiv_l$は反射的である．
（対称律）任意の$a, b \in G$で$a \equiv_l b$となるものをとる．このとき，$b^{-1} \circ a \in H$である．$H$が部分群であるので \[ a^{-1} \circ b = (b^{-1} \circ a)^{-1} \in H \] が従う．よって$b \equiv_l a$となり$\equiv_l$は対称的である．
（推移律）任意の$a,b,c \in G$で$a \equiv_l b$かつ$b \equiv_l c$となるものをとる．このとき，$b^{-1} \circ a \in H$かつ$c^{-1} \circ b \in H$である．すると，$H$が部分群であるので \[ c^{-1} \circ a = c^{-1} \circ e \circ a=c^{-1} \circ (b \circ b^{-1}) \circ a=(c^{-1} \circ b) \circ ( b^{-1} \circ a) \in H \] が従う．よって$a \equiv_l c$となり$\equiv_l$は推移的である． 以上より$\equiv_l$は同値関係である．
定義 6.4
$G$を群とする．
$a \in G$に対し，同値類
\[[a]_{\equiv_l}=\{ g \in G : a \equiv_l b \} \]
を$H$に関する$a$の属する左剰余類といい，$aH$で表す．
同様に，同値類
\[[a]_{\equiv_r}=\{ g \in G : a \equiv_r b \} \]
を$H$に関する$a$の属する右剰余類といい，$Ha$で表す．
命題 6.5
$G$を群とする．
$a \in G$に対し
\begin{align*}
aH&=\{ a\circ h : h \in H\},\\
Ha&=\{ h\circ a : h \in H\}
\end{align*}
となる．
特に，$eH=He=H$である．
証明
$A=\{ a\circ h : h \in H\}$とし，
$aH=A$の場合のみ証明する．$g \in G$に対し，
\begin{align*}
g \in aH &\iff a \equiv_l g\\
&\iff g \equiv_l a\\
& \iff \exists h \in H, g=a \circ h\\
& \iff g \in A
\end{align*}
が成り立つ．よって$aH=A$である．
補足 6.6
$G$がアーベル群の場合は$aH=Ha$であるので左と右の区別をする必要がない．この場合，単に剰余類と呼ぶことにする．
定義 6.7
群$G$とその部分群$H$に対し，$G$の$\equiv_l$に関する商集合を$G/H$と書き，$\equiv_r$に関する商集合を$H \setminus G$と書く．つまり，
\begin{align*}
G/H=\{ aH : a \in G\},\\
H\backslash G=\{Ha: a \in H\}
\end{align*}
である．$G/H$と$H\backslash G$をそれぞれ$G$の$H$に関する左商集合と右商集合と呼ぶ．また$L$と$R$をそれぞれ$G/H$と$H\backslash G$の完全代表系としたとき，
$G=\displaystyle\bigsqcup_{a \in L} aH$と$G=\displaystyle\bigsqcup_{a \in R}Ha$をそれぞれ$G$の左剰余類分割と右剰余類分割と呼ぶ．
ここで集合の濃度について復習する．有限とは限らない集合$X$と$Y$に対し，$X$と$Y$の濃度が同じ（$|X|=|Y|$と書く）とは，集合$X$と$Y$の間に全単射写像が存在するときにいう．
命題 6.8
$G$を群とし，$H$を$G$の部分群とする．
証明
(1) 写像\[
f: aH \to bH; x \mapsto b \circ a^{-1} \circ x, g: bH \to aH; y \mapsto a \circ b^{-1} \circ y
\]
を定義する．まず$f$がwell-definedであること，つまり$b \circ a^{-1} \circ x \in bH$を確かめる．
$x \in aH$より$h \in H$を用いて$x=a \circ h$と書ける．すると
\[
b \circ a^{-1} \circ x=b \circ a^{-1} \circ a \circ h=b\circ e \circ h = b \circ h \in bH
\]
であるので，$f$はwell-definedである．同様に$g$もwell-definedである．
このとき，任意の$x \in aH$に対し，
\[
(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(b \circ a^{-1} \circ x)= a \circ b^{-1} \circ (b \circ a^{-1} \circ x)=x
\]
であるので，$g \circ f = {\rm id}_{aH}$である．同様に$f \circ g ={\rm id}_{bH}$であるので$g$は$f$の逆写像である．よって$f$が全単射となるので
$|aH|=|bH|$が従う．
(2) (1)と同様である．
(3) 写像$\phi : G/H \to H \backslash G$を$\phi(aH)=Ha^{-1}$で定義する．この写像がwell-definedであることを見る．$aH=bH$とする．これは$a \equiv_l b$を意味する．このとき$Ha^{-1}=Hb^{-1}$となればよい． つまり$a^{-1} \equiv_r b^{-1}$を確かめればよい．$a \equiv_l b$から$b^{-1} \circ a \in H$である．$H$が部分群であるので， \[a^{-1} \circ (b^{-1})^{-1}= a^{-1} \circ b=(b^{-1} \circ a)^{-1} \in H\] となる．よって$a^{-1} \equiv_r b^{-1}$であるので，$\phi$はwell-definedである． 同様に， 写像$\psi : H \backslash G \to G/H $を$\phi(Ha)=a^{-1}H$で定義すると，これはwell-definedである．このとき，$\psi \circ \phi={\rm id}_{G/H}$と$\phi \circ \psi ={\rm id}_{H\backslash G }$となることが容易に確かめられるので，$\psi$は$\phi$の逆写像である．よって$\phi$が全単射となるので $|G/H|=|H \backslash G|$が従う．
(2) (1)と同様である．
(3) 写像$\phi : G/H \to H \backslash G$を$\phi(aH)=Ha^{-1}$で定義する．この写像がwell-definedであることを見る．$aH=bH$とする．これは$a \equiv_l b$を意味する．このとき$Ha^{-1}=Hb^{-1}$となればよい． つまり$a^{-1} \equiv_r b^{-1}$を確かめればよい．$a \equiv_l b$から$b^{-1} \circ a \in H$である．$H$が部分群であるので， \[a^{-1} \circ (b^{-1})^{-1}= a^{-1} \circ b=(b^{-1} \circ a)^{-1} \in H\] となる．よって$a^{-1} \equiv_r b^{-1}$であるので，$\phi$はwell-definedである． 同様に， 写像$\psi : H \backslash G \to G/H $を$\phi(Ha)=a^{-1}H$で定義すると，これはwell-definedである．このとき，$\psi \circ \phi={\rm id}_{G/H}$と$\phi \circ \psi ={\rm id}_{H\backslash G }$となることが容易に確かめられるので，$\psi$は$\phi$の逆写像である．よって$\phi$が全単射となるので $|G/H|=|H \backslash G|$が従う．
定義 6.9
群$G$と部分群$H$に対し，商集合の位数$|G/H|=|H\backslash G|$を$G$における$H$の指数といい，$(G:H)$で表す．
指数$(G:H)$は有限とは限らない．一方で$G$が有限群の場合は，$(G:H)$も有限となる．特に，次の定理が成り立つ．
定理 6.10 (ラグランジュの定理)
有限群$(G,\circ)$とその部分群$H$に対し，
\[
|G|=(G:H) \cdot |H|
\]
が成り立つ．特に，部分群$H$の位数は，もとの群$G$の位数の約数となる．
証明
$G$の$H$による左剰余類分割$G=\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^{(G:H)} a_i H$を考えると，
\[
|G|=\sum_{i=1}^{(G:H)} |a_i H|
\]
となる．このとき，$|a_i H|=|H|$であったので，
\[
|G|=\sum_{i=1}^{(G:H)} |H|=(G:H) \cdot |H|
\]
が従う．
系 6.11
$G$を有限群とする．このとき，任意の$a \in G$に対し，${\rm ord}(a)$は$|G|$の約数である．
証明
${\rm ord}(a)=| \langle a \rangle |$より従う．
この系を使ってオイラーの定理が証明できる．
定理 6.12(オイラーの定理)
自然数$m \geq 2$と$m$と互いに素な整数$a$に対して，
\[
a^{\phi(m)} \equiv_m 1
\]
が成り立つ．
証明
群$((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}, \cdot)$とその元$\overline{a} \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$を考える．示すことは，
\[
\overline{a}^{\phi(m)} = \overline{1}
\]
となることである．$|\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}|=\phi(m)$であるから，${\rm ord}(a) | \phi(m)$である．よって命題 4.13から
\[
\overline{a}^{\phi(m)} = \overline{1}
\]
が従う．