6.2：正規部分群と剰余群
群$\mathbb{Z}$とその部分群$m\mathbb{Z}$の剰余類$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$は群となっていた．同様に，群$G$とその部分群$H$の剰余類$G/H$や$H \backslash G$に群構造を入れたい． しかし，一般の$H$ではうまく演算を定義できないことがある．これは群の演算が一般に非可換である弊害である． そこで特別な部分群を定義し，その問題を解消し，この場合に群構造を入れることを考える．定義 6.13
$G$を群とし，$N$をその部分群とする．任意の$x \in N$と任意の$a \in G$に対して
\[
a \circ x \circ a^{-1} \in N
\]
が成り立つとき，$N$を$G$の正規部分群 (normal subgroup)という．
補足 6.14
$N$が$G$の部分群のとき，任意の$x \in N$と任意の$a \in N \subset G$に対して
\[
a \circ x \circ a^{-1} \in N
\]
が成り立つため，$N$が正規部分群かどうか判定するときは，$a \in G \setminus N$の場合のみチェックすればよい．
具体例を見てみよう．
例 6.15
$3$次対称群$\mathfrak{S}_3$とその部分群
\[
H=\left\{\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\right\}
\]
を考える．
このとき，$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\in H$と$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$に対し，
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix} \notin H
\end{align*}
となるので，$H$は正規部分群ではない．
一方で，部分群
\[
N=\left\{\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\right\}
\]
は正規部分群である（確かめよ）．
以下の命題の条件を正規部分群の定義と思ってもよい．
命題 6.16
$G$を群とし，$N$をその部分群とする．このとき，$N$が$G$の正規部分群である必要十分条件は任意の$a \in G$に対し，$aN=Na$が成り立つことである．
証明
（$\Rightarrow$）任意の$a \in G$と$a \circ x \in aN$ $(x \in N)$をとる．$N$が$G$の正規部分群であるので，$a \circ x \circ a^{-1} \in N$が成り立つ．よって
\[
a \circ x=(a \circ x \circ a^{-1}) \circ a \in Na
\]
となるので$aN \subset Na$が従う．同様に，$Na \subset aN$が示せるので，$aN=Na$が成り立つ．
（$\Leftarrow$）任意の$x \in N$と$a \in G$をとる． このとき，$aN=Na$なので，$a \circ x = y \circ a$を満たす$y \in N$が存在する．この両辺の右から$a^{-1}$を掛けると， \[ a \circ x \circ a^{-1}=y \circ a \circ a^{-1}=y \in N \] となる．よって$N$は$G$の正規部分群である．
（$\Leftarrow$）任意の$x \in N$と$a \in G$をとる． このとき，$aN=Na$なので，$a \circ x = y \circ a$を満たす$y \in N$が存在する．この両辺の右から$a^{-1}$を掛けると， \[ a \circ x \circ a^{-1}=y \circ a \circ a^{-1}=y \in N \] となる．よって$N$は$G$の正規部分群である．
系 6.17
$G$がアーベル群であれば，$G$の任意の部分群は正規部分群となる．
$N$を$G$の正規部分群とし，左商集合$G/N$上に演算を次のように定義する．
\[
\overline{\circ} : G/N \times G/N \to G/N, (aN,bN) \mapsto (a \circ b)N.
\]
ここで$G$上の演算$\circ$と区別するために$\overline{\circ}$と書いている．
命題 6.18
$G/N$上の演算$\overline{\circ}$はwell-definedである．
証明
$aN=a'N$と$bN=b'N$をとる．
このとき，$(a \circ b)N=(a' \circ b')N$を示せばよい．
$(a \circ b) \circ x \in (a \circ b)N$ $(x \in N)$を任意にとる．$bN=b'N$より$b \circ x=b' \circ y$を満たす$y \in N$が存在する．また$N$が正規部分群であるので，$b'N=Nb'$が成り立つ．よって$b' \circ y = z \circ b'$を満たす$z \in N$が存在する．
すると
\[
(a \circ b) \circ x=a \circ b' \circ y = a \circ z \circ b'
\]
である．
同様の議論を$a \circ z \in aN$ですると，$a \circ z=w \circ a'$を満たす$w \in N$が存在する．よって
\[
(a \circ b) \circ x=w \circ (a' \circ b') \in N(a' \circ b')=(a' \circ b')N
\]
が従う．したがって，$(a \circ b) N \subset (a' \circ b') N$が得られる．同様に，$(a \circ b) N \supset (a' \circ b') N$が示せるので，$(a \circ b) N = (a' \circ b') N$となり，$\overline{\circ}$がwell-definedであることがわかった．
命題 6.19
群$G$とその正規部分群$N$に対し，$(G/N, \overline{\circ})$は群となる．特に，単位元は$N$，$aN$の逆元は$a^{-1
}N$である．この群$(G/N, \overline{\circ})$を$G$の$N$に関する剰余群という．
証明
(G1) $\overline{\circ}$の結合律は$\circ$が結合律を満たすことから従う．
(G2) 任意の$aN \in G/N$に対し，$aN\ \overline{\circ}\ N=(a \circ e) N=aN$である．同様に，$N\ \overline{\circ}\ aN=aN$であるので，単位元$N \in G/N$が存在する．
(G3) 任意の$aN \in G/N$に対し，$a^{-1} N \in G/N$を考えると， \[ aN \ \overline{\circ}\ a^{-1}N=(a \circ a^{-1}) N=N=a^{-1}N \ \overline{\circ}\ aN \] となるので，逆元$a^{-1} N \in G/N$が存在する．
以上より，$(G/N, \overline{\circ})$は群である．
$G/N$と同様に，右商集合$N \backslash G$上の演算を
\[
\overline{\circ}': N \backslash G \times N \backslash G \to N \backslash G; (Na, Nb) \mapsto N(a \circ b)
\]
と定義することで，剰余群$(N \backslash G, \overline{\circ}')$
も考えることができるが，この2つの剰余群は全く同じである．
(G2) 任意の$aN \in G/N$に対し，$aN\ \overline{\circ}\ N=(a \circ e) N=aN$である．同様に，$N\ \overline{\circ}\ aN=aN$であるので，単位元$N \in G/N$が存在する．
(G3) 任意の$aN \in G/N$に対し，$a^{-1} N \in G/N$を考えると， \[ aN \ \overline{\circ}\ a^{-1}N=(a \circ a^{-1}) N=N=a^{-1}N \ \overline{\circ}\ aN \] となるので，逆元$a^{-1} N \in G/N$が存在する．
以上より，$(G/N, \overline{\circ})$は群である．
命題 6.20
群$G$とその正規部分群$N$に対し，$(G/N,\overline{\circ})=(N \backslash G,\overline{\circ}')$である．
証明
任意の$a \in G$に対し，$aN=Na$から$G/N=N\backslash G$である．また任意の$aN,bN \in G/N$に対し，
\[
aN \ \overline{\circ}\ bN=(a\circ b) N=N(a\circ b)=Na \ \overline{\circ}'\ Nb
\]
より$\overline{\circ}$と$\overline{\circ}'$は同じ写像（演算）である．したがって，$(G/N,\overline{\circ})=(N \backslash G,\overline{\circ}')$である．
よって剰余群を考えるときは基本$G/N$を考える．