7.1：群の作用の定義と置換群
定義 7.1.1
$G$を群，$X$を集合とする．$G$の$X$への （左）作用とは，写像$\bullet : G \times X \to X, (g,x) \mapsto g \bullet x$であり，次の条件を満たすものである．
群$G$が集合$X$に作用しているとする．$g \in G$に対し，写像
\[
\lambda_g : X \to X, \quad x \mapsto g \bullet x
\]
を定義する．
このとき，次が成り立つ．
$ e \bullet x=x$，
$g \bullet (h \bullet x)=(g h) \bullet x$.
命題 7.1.2
$\lambda_g$は全単射である．
証明
任意の$y \in X$に対し，$g^{-1}\bullet y \in X$を考えると，
\[
\lambda_g(g^{-1} \bullet y)=g\bullet(g^{-1} \bullet y)=(gg^{-1}) \bullet y=e \bullet y=y
\]
より，$\lambda_g$は全射である．
次に，$\lambda_g(x)=\lambda_g(y)$となる任意の$x,y \in X$をとる．このとき，$g \bullet x = g\bullet y$であるが， \[ x=e \bullet x =(g^{-1}g) \bullet x=g^{-1} \bullet (g \bullet x)=g^{-1} \bullet (g \bullet y)=(g^{-1}g) \bullet y=e \bullet y =y \] より，$\lambda_g$は単射である． 以上より，$\lambda_g$は全単射である．
この命題から$\lambda_g$は対称群$\mathfrak{S}_X=\{ f: X \to X \mid \mbox{$f$は全単射}\}$の元である．したがって，写像
\[
\lambda : G \to \mathfrak{S}_X, \quad g \mapsto \lambda_g
\]
が定義できる．このとき，次が成り立つ．
次に，$\lambda_g(x)=\lambda_g(y)$となる任意の$x,y \in X$をとる．このとき，$g \bullet x = g\bullet y$であるが， \[ x=e \bullet x =(g^{-1}g) \bullet x=g^{-1} \bullet (g \bullet x)=g^{-1} \bullet (g \bullet y)=(g^{-1}g) \bullet y=e \bullet y =y \] より，$\lambda_g$は単射である． 以上より，$\lambda_g$は全単射である．
命題 7.1.3
$\lambda$は準同型写像である．
証明
$\mathfrak{S}_X$は写像の合成により群となっていたことに注意する．
任意の$g,h \in G$に対し，$\lambda(gh)=\lambda_{gh}=\lambda_{g} \circ \lambda_{h}=\lambda(g) \circ \lambda(h)$を示す．任意の$x$をとると，
\[
\lambda_{gh}(x)=(gh) \bullet x=g \bullet (h \bullet x)=\lambda_g(h \bullet x)=\lambda_g(\lambda_h(x))=(\lambda_g \circ \lambda_h)(x)
\]
となるので，$\lambda_{gh}=\lambda_{g} \circ \lambda_{h}$が成り立ち，特に，$\lambda(gh)=\lambda(g) \circ \lambda(h)$なので，$\lambda$は準同型写像である．
補足 7.1.4
逆に，準同型写像$\lambda: G \to \mathfrak{S}_X$が与えられたとき，写像
\[
G \times X \to X, \quad (g,x) \mapsto \lambda(g)(x)
\]
は$G$の$X$への作用となる．したがって，$G$の$X$の作用を与えることと，準同型写像$\lambda: G \to \mathfrak{S}_X$を与えることは同値である．
いま，$X=G$とし，自分自身への作用を考えると，次が成り立つ．
定理 7.1.5 ：ケーリーの定理
$G$を群とし，準同型写像$\lambda: G \to \mathfrak{S}_G, g \mapsto \lambda_g$を考える．このとき，
$\lambda$は単射である．特に，$G \cong {\rm Im}(\lambda) \subset \mathfrak{S}_G$が成り立つ．また$G$が位数$n$の有限群の場合，$G$は$\mathfrak{S}_n$の部分群と同型である．
証明
$\lambda(g)=\lambda(h)$，つまり$\lambda_g=\lambda_h$を満たす任意の$g,h \in G$をとる．このとき，
\[
g=ge=\lambda_g(e)=\lambda_h(e)=he=h
\]
が成り立つので，$\lambda$は単射である．
したがって，写像$\lambda': G \to {\rm Im}(\lambda), g \mapsto \lambda_g$
を考えると，これは同型写像である．よって$G \cong {\rm Im}(\lambda) \subset \mathfrak{S}_G$が得られる．
$G=\{g_1,\ldots,g_n\}$とする．全単射 \[ \varphi:\{1,\ldots,n\} \to G, \quad i \mapsto g_i \] を用いて写像 \[ \varphi:\mathfrak{S}_G \to \mathfrak{S}_n, \quad f \mapsto \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi \] を定義する．この写像が単射準同型写像であることを示す．
（単射性）$\varphi(f)=\varphi(f')$を満たす任意の$f,f' \in \mathfrak{S}_G$をとる． このとき， \[ \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi= \varphi^{-1} \circ f' \circ \varphi \] であるが，この両辺に左から$\varphi$を，右から$\varphi^{-1}$を合成することで，$f=f'$が従う．よって$\varphi$は単射である．
（準同型性）$f,f' \in \mathfrak{S}_G$に対し， \[ \varphi(f' \circ f)=\varphi^{-1} \circ (f' \circ f) \circ \varphi=(\varphi^{-1} \circ f' \circ \varphi) \circ (\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi)=\varphi(f') \circ \varphi(f) \] が成り立つので$\varphi$は準同型写像である．
今，$\lambda,\varphi$はともに単射準同型写像なので，これらの合成写像 \[ \Psi:=\varphi \circ \lambda : G \to \mathfrak{S}_n \] も単射準同型である．したがって，$G \cong {\rm Im}(\Psi) \subset \mathfrak{S}_n$が成り立つ．
$G=\{g_1,\ldots,g_n\}$とする．全単射 \[ \varphi:\{1,\ldots,n\} \to G, \quad i \mapsto g_i \] を用いて写像 \[ \varphi:\mathfrak{S}_G \to \mathfrak{S}_n, \quad f \mapsto \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi \] を定義する．この写像が単射準同型写像であることを示す．
（単射性）$\varphi(f)=\varphi(f')$を満たす任意の$f,f' \in \mathfrak{S}_G$をとる． このとき， \[ \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi= \varphi^{-1} \circ f' \circ \varphi \] であるが，この両辺に左から$\varphi$を，右から$\varphi^{-1}$を合成することで，$f=f'$が従う．よって$\varphi$は単射である．
（準同型性）$f,f' \in \mathfrak{S}_G$に対し， \[ \varphi(f' \circ f)=\varphi^{-1} \circ (f' \circ f) \circ \varphi=(\varphi^{-1} \circ f' \circ \varphi) \circ (\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi)=\varphi(f') \circ \varphi(f) \] が成り立つので$\varphi$は準同型写像である．
今，$\lambda,\varphi$はともに単射準同型写像なので，これらの合成写像 \[ \Psi:=\varphi \circ \lambda : G \to \mathfrak{S}_n \] も単射準同型である．したがって，$G \cong {\rm Im}(\Psi) \subset \mathfrak{S}_n$が成り立つ．