Tsuchiya Lab

7.2：軌道と安定化群

群$G$の集合$X$への作用を考えることにより，$X$を分割することができる．

定義 7.2.1

群$G$の集合$X$への作用$\bullet$を考える．$x \in X$とする．

$X$の部分集合 \[ G \bullet x:=\{g \bullet x \in X :g \in G\} \] を$x$の$G$軌道，または単に軌道という．$X$の$G$軌道全体の集合を \[ {\rm Orb}(X):=\{ G \bullet x : x \in X\} \] と書く．
$G$の部分集合 \[ G_x:=\{g \in G : g \bullet x =x\} \] を$x$の安定化群という．
すべての$g \in G$に対して$g \bullet x_0=x_0$を満たす，すなわち，$G_{x_0}=G$を満たす$x_0 \in X$を$G$の固定点という．$G$の固定点全体の集合を \begin{align*} X^G&:=\{ x_0 \in X : G_{x_0}=G\}\\ &=\{ x_0 \in X : g \bullet x_0=x_0 \ (\forall g \in G)\} \end{align*} と書く．

安定化「群」といっている通り，実際に$G_x$は$G$の部分群である．

命題 7.2.2

$G_x$は$G$の部分群である．
写像$f : G/G_x \to G \bullet x$を$g G_x \mapsto g \bullet x$で定義すると，これはwell-definedな全単射である．特に，$|G \bullet x|=(G:G_x)=|G|/|G_x|$が成り立つ．

証明

(1) 作用の条件(i)より，$e \bullet x=x$が成り立つから$e \in G_x$である．したがって，(H1)が成り立つ．作用の条件(ii)より，$g,h \in G_x$に対して， \[ (gh) \bullet x=g \bullet (h \bullet x)=g \bullet x =x \] となるので，$gh \in G_x$である．したがって，(H2)が成り立つ．最後に，$g \in G_x$に対して，$g\bullet x =x$から \[ g^{-1} \bullet x=g^{-1} \bullet (g \bullet x)=(g^{-1}g) \bullet x=e \bullet x =x \] となるので，$g^{-1}\in G_x$である．したがって，(H3)が成り立つ．
以上より，$G_x$は$G$の部分群である．
(2) まずwell-defined性を見る．$gG_x,g'G_x \in G/G_x$が$gG_x=g'G_x$を満たすとする．このとき，$g^{-1} g' \in G_x$である．すると， \[ (g^{-1} g') \bullet x=x \] が成り立つ．この等式の両辺に左から$g$を作用させることで， \[ g \bullet ((g^{-1} g') \bullet x)=(gg^{-1}g') \bullet x =g' \bullet x =g \bullet x \] が成り立つ．したがって，\[f(gG_x)= g \bullet x = g' \bullet x=f(g'G_x)\]となるので，$f$のwell-defined性がわかった．
次に$f$が全単射であることをみる．全射性は明らかである．$gG_x,g'G_x \in G/G_x$が$f(gG_x)=f(g'G_x)$を満たすとする．このとき，$g \bullet x = g' \bullet x$なので， \[ x=e \bullet x =(g^{-1} g) \bullet x =g^{-1} \bullet (g \bullet x)=g^{-1} \bullet (g' \bullet x)=(g^{-1} g') \bullet x \] が成り立ち，$g^{-1}g' \in G_x$がわかる．したがって，$g G_x = g' G_x$であるので，$f$は単射である．
以上より$f$は全単射である．特に，$|G \bullet x|=|G/G_x|=(G:G_x)$であり，ラグランジュの定理から後半の等式が成り立つこともわかる．

群では部分群を使って，群の分割（分解）を与えた．一般の集合の場合，群作用があればその分割を与えることができる．そのために，作用から定まる同値関係を定義する．
群$G$の集合$X$への作用$\bullet$を考える．このとき，$X$上の関係$\sim_G$を \begin{align*} x \sim_G y &\overset{\rm def}{\iff} \exists g \in G, y=g \bullet x \end{align*} で定義する．

命題 7.2.3

群$G$の集合$X$への作用$\bullet$を考える．

$\sim_G$は同値関係である．
$x \in X$に対し， \[ [x]_{\sim_G}=\{y \in X : x \sim_G y\}=G \bullet x \] である．したがって，$X/{\sim_G}={\rm Orb}(X)$である．

証明

(1) （反射律）任意の$x \in X$に対し，作用の条件(i)から$e \bullet x =x$なので，$x \sim_G x$である．
（対称律）$x \sim_G y$を満たす任意の$x,y \in X$をとる．このとき，$g \in G$を用いて，$y=g \bullet x$と書ける．両辺に左から$g^{-1}$を作用させて，作用の条件(i), (ii)を用いると \[ g^{-1}\bullet y=g^{-1}\bullet(g\bullet x)=(g^{-1}g)\bullet x=e\bullet x=x \] となるので，$y \sim_G x$である．
（推移律）$x \sim_G y, y \sim_G z$を満たす任意の$x,y,z \in X$をとる．このとき，$g,h \in G$を用いて，$y=g \bullet x, z=h \bullet y$と書ける．すると \[ z=h \bullet y =h\bullet (g \bullet x)=(hg) \bullet x \] で，$hg\in G$なので，$x \sim_G z$が従う．
以上より$\sim_G$は同値関係である．
(2) 軌道の定義より従う．

したがって，この同値関係により集合$X$の分割が得られる．

定義 7.2.4

群$G$の集合$X$への作用$\bullet$を考える．このとき，分割 \[ X=\bigsqcup_{O \in {\rm Orb}(X)} O \] を$G$の$X$への作用による軌道分解という．

$X$と$G$が有限集合のとき，軌道分解の元の個数，つまり，軌道の個数には以下の性質が成り立つ．

命題 7.2.5

有限群$G$の有限集合$X$への作用$\bullet$に対し， \[ |X|=\sum_{O \in {\rm Orb}(X)} |O| \] が成り立つ．特に，各$O \in {\rm Orb}(X)$に対し，$|O|$は$|G|$の約数となる．

証明

前半の等式は，軌道分解が分割であることから従う．後半の主張は命題7.2.2から従う．

この命題の等式は，固定点の集合$X^G$を用いて分解することができる．

定理 7.2.6

有限群$G$の有限集合$X$への作用$\bullet$に対し， \[ |X|=|X^G|+\sum_{O \in {\rm Orb}(X), |O|>1} |O| \] が成り立つ．

証明

$x \in X^G$と$G \bullet x =\{x\}$が同値であることと，任意の$x \in X$に対し，$x \in G \bullet x$であることから従う．

情報数理C