前半は定義から直ちに従う． 後半は両辺が $\{i_1,\dots,i_k\}$ 上で同じ写像になっていることを確認すればよい．

任意の $i$ に対して，$\sigma(i)\ne i$ なら $\tau(i)=i$， $\tau(i)\ne i$ なら $\sigma(i)=i$ が成り立つので， $\sigma\tau$ と $\tau\sigma$ は各点 $i$ の像が一致する．

$i\in\{1,\dots,n\}$ から出発して \[ i,\ \sigma(i),\ \sigma^2(i),\ \dots \] を考えると有限性より必ず循環する．この循環から巡回置換が得られ， まだ現れていない点について同様の操作を繰り返せば，互いに素な巡回置換の積で表せる． 一意性は，各点 $i$ が属する巡回 \[ \{i,\sigma(i),\sigma^2(i),\dots\} \] が $\sigma$ によって一意に定まることと命題7.5.4から従う．

まず$\tau \in \mathfrak{S}_n$と巡回置換$(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_k)$に対し， \[ \tau \circ (i_1\,i_2\,\cdots\,i_k) \circ \tau^{-1}=(\tau(i_1)\,\tau(i_2)\,\cdots\,\tau(i_k)) \]となることを示す． 任意の$m=1,\dots,k$について，左辺の置換 $\tau (i_1\,i_2\,\cdots\,i_k)\tau^{-1}$ を $\tau(i_m)$ に作用させると， \[ \bigl(\tau \circ (i_1\,i_2\,\cdots\,i_k) \circ \tau^{-1}\bigr)\bigl(\tau(i_m)\bigr) =\tau\bigl((i_1\,i_2\,\cdots\,i_k)\circ \bigl(\tau^{-1}(\tau(i_m))\bigr)\bigr) =\tau\bigl((i_1\,i_2\,\cdots\,i_k)(i_m)\bigr) =\tau(i_{m+1}) \] となる（ここで $i_{k+1}:=i_1$ とする）． また $j\notin\{i_1,\dots,i_k\}$ のとき，$(i_1\,\cdots\,i_k)(j)=j$ なので，同様に \[ \bigl(\tau \circ (i_1\,\cdots\,i_k)\circ \tau^{-1}\bigr)\bigl(\tau(j)\bigr)=\tau(j) \] が成り立つ． したがって， \[ \tau \circ (i_1\,i_2\,\cdots\,i_k)\circ \tau^{-1}=(\tau(i_1)\,\tau(i_2)\,\cdots\,\tau(i_k)) \] である．
今，$\sigma,\sigma'\in\mathfrak{S}_n$ が共役であるとする．このとき，$\tau \in \mathfrak{S}_n$を用いて，$\sigma'=\tau \circ \sigma \circ \tau^{-1}$と書ける． $\sigma$ の巡回置換による積表示を \[ \sigma=\gamma_1\circ\gamma_2\circ\cdots\circ\gamma_r \] とする（各 $\gamma_i$ は互いに素な巡回置換）． このとき \[ \sigma'=\tau \circ \sigma \circ \tau^{-1} =\tau\circ(\gamma_1\circ\cdots\circ\gamma_r)\circ\tau^{-1} =(\tau\circ\gamma_1\circ\tau^{-1})\circ\cdots\circ(\tau\circ\gamma_r\circ\tau^{-1}) \] が成り立つ． すると，上で示した等式により，各$\tau\circ\gamma_m\circ\tau^{-1}$は$\gamma_m$と同じ長さの巡回置換である． したがって，$\sigma$ と $\sigma'$ の巡回置換型は一致する．
逆に，$\sigma,\sigma'$ の巡回置換型が一致すると仮定する． $\sigma,\sigma'$ の互いに素な巡回置換の積表示を \[ \sigma=\gamma_1\circ\gamma_2\circ\cdots\circ\gamma_r,\qquad \sigma'=\gamma'_1\circ\gamma'_2\circ\cdots\circ\gamma'_r \] とする．ここで各 $\gamma_i$ と $\gamma'_i$ の長さが一致すると仮定してよい． 各巡回置換を \[ \gamma_i=(a_{i,1}\,a_{i,2}\,\cdots\,a_{i,k_i}),\qquad \gamma'_i=(b_{i,1}\,b_{i,2}\,\cdots\,b_{i,k_i}) \] と書く． このとき，全単射 $\tau:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\} \in \mathfrak{S}_n$ を \[ \tau(a_{i,j})=b_{i,j} \qquad (i=1,\dots,r,\ j=1,\dots,k_i) \] で定める． ここで，$\gamma_1,\dots,\gamma_r$ は互いに素であり， それぞれの巡回置換に現れる元は重ならないので， $\{a_{i,j}\}$ は $\{1,\dots,n\}$ をちょうど一度ずつ表す． 同様に，$\{b_{i,j}\}$ も $\{1,\dots,n\}$ をちょうど一度ずつ表す． したがって，上の対応は矛盾なく定まり， $\tau$ は置換，すなわち $\tau\in\mathfrak{S}_n$ となる． 先に示した等式より，各 $i$ に対して \[ \tau\circ\gamma_i\circ\tau^{-1}=\gamma'_i \] が成り立つ． したがって \[ \tau\circ\sigma\circ\tau^{-1} =\tau\circ(\gamma_1\circ\cdots\circ\gamma_r)\circ\tau^{-1} =(\tau\circ\gamma_1\circ\tau^{-1})\circ\cdots\circ (\tau\circ\gamma_r\circ\tau^{-1}) =\gamma'_1\circ\cdots\circ\gamma'_r =\sigma' \] となる． よって $\sigma$ と $\sigma'$ は共役である．