7.4：共役な部分群と正規化群
共役の概念を部分群に拡張する．定義 7.4.1
$G$ を群，$H$ を $G$ の部分群，$g\in G$ とする．
このとき
\[
gHg^{-1}:=\{ghg^{-1} : h\in H\}
\]
を $H$ の $g$ による共役部分群という．また部分群$K$に対し，
ある $g\in G$ が存在して
\[
K=gHg^{-1}
\]
と書けるとき，$H$ と $K$ は共役であるという．
まず部分群の共役の操作によって，その群構造が変わらないことを見る．
命題 7.4.2
$G$ を群，$H$ を $G$ の部分群，$g\in G$ とする．
このとき $gHg^{-1}$ は $G$ の部分群である．さらに写像
\[
c_g:H\to gHg^{-1},\quad h\mapsto ghg^{-1}
\]
は同型写像である．特に，$|gHg^{-1}|=|H|$である．
証明
まず $gHg^{-1}$ が部分群であることを示す．
(H1) $x,y\in gHg^{-1}$ とする． このときある $h_1,h_2\in H$ が存在して $x=gh_1g^{-1}$，$y=gh_2g^{-1}$ と書ける．したがって \[ xy=(gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1})=g(h_1h_2)g^{-1}\in gHg^{-1} \] となる．
(H2) $x\in gHg^{-1}$ とする．このときある $h\in H$ が存在して $x=ghg^{-1}$ と書ける． すると \[ x^{-1}=(ghg^{-1})^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in gHg^{-1} \] となる．
以上より $gHg^{-1}$ は部分群である．
次に，$c_g:H\to gHg^{-1}$ を $c_g(h)=ghg^{-1}$ で定める． 任意の $h_1,h_2\in H$ に対し \[ c_g(h_1h_2)=g(h_1h_2)g^{-1}=(gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) =c_g(h_1)c_g(h_2) \] より $c_g$ は準同型写像である． また \[ c_{g^{-1}}:gHg^{-1}\to H,\quad x\mapsto g^{-1}xg \] が逆写像になるので，$c_g$ は全単射，よって同型写像である．
部分群の共役を考えることで，正規部分群かどうかが判定できる．
(H1) $x,y\in gHg^{-1}$ とする． このときある $h_1,h_2\in H$ が存在して $x=gh_1g^{-1}$，$y=gh_2g^{-1}$ と書ける．したがって \[ xy=(gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1})=g(h_1h_2)g^{-1}\in gHg^{-1} \] となる．
(H2) $x\in gHg^{-1}$ とする．このときある $h\in H$ が存在して $x=ghg^{-1}$ と書ける． すると \[ x^{-1}=(ghg^{-1})^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in gHg^{-1} \] となる．
以上より $gHg^{-1}$ は部分群である．
次に，$c_g:H\to gHg^{-1}$ を $c_g(h)=ghg^{-1}$ で定める． 任意の $h_1,h_2\in H$ に対し \[ c_g(h_1h_2)=g(h_1h_2)g^{-1}=(gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) =c_g(h_1)c_g(h_2) \] より $c_g$ は準同型写像である． また \[ c_{g^{-1}}:gHg^{-1}\to H,\quad x\mapsto g^{-1}xg \] が逆写像になるので，$c_g$ は全単射，よって同型写像である．
命題 7.4.3
群$G$とその部分群$N$について次は同値である：
$N$ は $G$ の正規部分群である．
任意の $g\in G$ に対して $gNg^{-1}=N$ が成り立つ．
証明
(1)$\Rightarrow$(2): $N$が$G$の正規部分群 なら $gNg^{-1}\subset N$ が任意の $g$ で成り立つ．
両辺の位数は等しいので $gNg^{-1}=N$ である．
(2)$\Rightarrow$(1): 任意の $g$ で $gNg^{-1}=N$ が成り立つなら， 任意の $n\in N$ に対し $gng^{-1}\in N$ となるので $N$は$G$の正規部分群である．
(2)$\Rightarrow$(1): 任意の $g$ で $gNg^{-1}=N$ が成り立つなら， 任意の $n\in N$ に対し $gng^{-1}\in N$ となるので $N$は$G$の正規部分群である．
定義 7.4.4
$G$ を群，$H$ を $G$ の部分群とする．このとき，
\[
N_G(H):=\{g\in G : gHg^{-1}=H\}
\]
を $H$ の正規化群という．
$N_G(H)$は$H$が正規部分群になるように，$G$を小さくする操作である．
命題 7.4.5
$N_G(H)$ は $G$ の部分群であり，また$H$は$N_G(H)$の正規部分群である．
証明
まず $N_G(H)$ が部分群であることを示す．
(H1) $g,h\in N_G(H)$ とすると \[ (gh)H(gh)^{-1} =g(hHh^{-1})g^{-1} =gHg^{-1} =H \] となるので $gh\in N_G(H)$ である．
(H2) $g\in N_G(H)$ とすると \[ gHg^{-1}=H \] より \[ g^{-1}Hg=H \] が従うので $g^{-1}\in N_G(H)$ である． したがって $N_G(H)$ は部分群である．
次に $H$ が $N_G(H)$ の正規部分群であることを示す． まず $h\in H$ に対し \[ hHh^{-1}=H \] が成り立つので $h\in N_G(H)$ である． よって \[ H\subset N_G(H) \] である．特に，$H$は$N_G(H)$の部分群である． さらに 任意の$g\in N_G(H)$ に対しては \[ gHg^{-1}=H \] が成り立つ． したがって$H$は$N_G(H)$の正規部分群である．
(H1) $g,h\in N_G(H)$ とすると \[ (gh)H(gh)^{-1} =g(hHh^{-1})g^{-1} =gHg^{-1} =H \] となるので $gh\in N_G(H)$ である．
(H2) $g\in N_G(H)$ とすると \[ gHg^{-1}=H \] より \[ g^{-1}Hg=H \] が従うので $g^{-1}\in N_G(H)$ である． したがって $N_G(H)$ は部分群である．
次に $H$ が $N_G(H)$ の正規部分群であることを示す． まず $h\in H$ に対し \[ hHh^{-1}=H \] が成り立つので $h\in N_G(H)$ である． よって \[ H\subset N_G(H) \] である．特に，$H$は$N_G(H)$の部分群である． さらに 任意の$g\in N_G(H)$ に対しては \[ gHg^{-1}=H \] が成り立つ． したがって$H$は$N_G(H)$の正規部分群である．