4.5：環の階層構造

ここまでの議論から，次のような整域の階層関係が成り立つことがわかった： このような階層構造を理解する上で重要なのは，「逆が成り立つかどうか」を検討することである．すなわち，2つの概念の間に真の包含関係があるのか，それとも同値であるのかを見極めるためには，次のような「反例」を探すことが鍵となる：

• 一意分解整域ではない整域，
• 単項イデアル整域ではない一意分解整域，
• ユークリッド整域ではない単項イデアル整域．

このうち，(1) の例としては $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ がよく知られており，(2) の例には $\mathbb{R}[x,y]$ が挙げられる．いずれも実際に多項式やイデアルを扱ってみることで，これらの環が該当することを確認できる．
しかし，(3) のように「ユークリッド整域ではない単項イデアル整域」の例を見つけることは非常に困難である．実際，そのような例として最も有名なのが，次の複素数体 $\mathbb{C}$ の部分環である： \[ R = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right] := \left\{ a + b\frac{1+\sqrt{-19}}{2} : a,b \in \mathbb{Z} \right\} \] この環 $R$ は単項イデアル整域であるが，ユークリッド整域ではないことが知られている．ただし，その証明は代数的整数論やイデアル類群の理論を要し，本講義の範囲を超えるため，ここでは紹介のみにとどめる．
このように，反例の存在を通じて構造の違いを把握することは，可換環論の理解を深めるうえで非常に有用である．