1回目：多項式環とアフィン多様体

本講義で重要である多項式環と基本的な幾何的対象であるアフィン多様体を導入する． まずは単項式の定義から始める． 単項式を簡略化して次のように表記することができる． $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ を非負整数の $n$ 個の組として， \[x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdot x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\] と書く．$\alpha=(0,\dots,0)$ のときは，$x^\alpha=1$ であることに 注意する．$|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$ により，単項式 $x^\alpha$ の 全次数を表す． 変数の個数が少ない多項式を扱うときは，添字を省いて，$x_1,x_2,x_3,\ldots$の代わりに$x,y,z,w$を使う．

多項式を扱う際に次の用語を使う． 例えば，$k[x,y,z]$の多項式$f=2x^3y^2z+3y^3 z^3 -3xyz+y^2$は4つ項を持ち，全次数は$6$である．また全次数を持つ項は複数個あることに注意する．

２つの多項式の積や和はふたたび多項式となる．多項式$f,g \in k[X]$に対して，$g=fh$となるような多項式$h \in k[X]$が存在するとき，$f$は$g$を割り切るといい，$f | g$と表す．

次に$k[X]$の数学的構造について調べる． $k[X]$は加法と乗法の下で，可換環の構造を持つ．ゆえに，$k[X]$は多項式環 (polynomial ring)と呼ばれる．

次にアフィン多様体を定義する． つまりアフィン多様体$\mathbf{V}(f_1,\ldots,f_s)$とは 連立方程式 \[ f_1(x_1,\ldots,x_n)=f_2(x_1,\ldots,x_n)=\cdots = f_s (x_1,\ldots,x_n)=0 \] の解全体の集合である．したがって，一般の多項式の連立方程式を解く，と言うことは$\mathbf{V}(f_1,\ldots,f_s)$を具体的に記述するということに他ならない． アフィン多様体は空集合になりうることにも触れておかなければならない． たとえば $k=\mathbb{R}$ のとき，$x^2+y^2=-1$ は実数解を持たないから， 明らかに $\mathbf{V}(x^2+y^2+1)=\emptyset$ である（$k=\mathbb{C}$ のときには解がある）． 別の例は $\mathbf{V}(xy,xy-1)$ である．与えられた $x$ と $y$ に対して， $xy=0$ と $xy=1$ が同時に成り立つことはありえないから，これは どんな体上でも空集合である．

最後に，アフィン多様体の基本性質を記しておく．