10. 写像
10.1 写像
集合\(X,Y\)に対して，\(X\)の各要素\(x\)に\(Y\)の要素をただ一つ対応させる規則を，\(X\)から\(Y\)への写像 (map) という．写像\(f\)が\(X\)から\(Y\)への写像であることを \[f:X\to Y\] と書く．\(X\)を\(f\)の定義域 (domain)，\(Y\)を\(f\)の終域 (codomain) という．\(x\in X\)に対応する\(Y\)の要素を\(f(x)\)と書き，\(x\)の\(f\)による像 (image) という．対応を\(x\mapsto f(x)\)と書く．
写像の定義で重要なのは，定義域の各要素に対して，対応する要素がただ一つ定まることである．例えば，次の左の図は写像を表しているが，中央と右の図は写像を表していない．
中央の図では\(2\in X\)に対応する要素がなく，右の図では\(2\in X\)に二つの要素\(b,c\)が対応している．どちらも「ただ一つ対応する」という条件を満たさない．なお，写像であるためには，終域\(Y\)のすべての要素に矢印が入る必要はなく，異なる\(X\)の要素が同じ\(Y\)の要素に移ってもよい．
\[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto 2x\] は実数\(x\)を\(2x\)に対応させる写像である．一方， \[g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto\frac1x\] は\(x=0\)に対応する値が定まらないので写像を定義していない．定義域を\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)に変えれば写像となる．
空集合から任意の集合\(Y\)への写像\(\emptyset\to Y\)はただ一つ存在する．定義域に要素がないため，対応を指定する必要がないからである．一方，\(X\neq\emptyset\)ならば写像\(X\to\emptyset\)は存在しない．\(x\in X\)に対応させる終域の要素が一つもないからである．
二つの写像\(f:X\to Y\)と\(g:X\to Y\)について，すべての\(x\in X\)で\(f(x)=g(x)\)が成り立つとき，\(f\)と\(g\)は等しいといい\(f=g\)と書く．
10.2 部分集合の像と逆像
写像\(f:X\to Y\)に対して， \[\operatorname{Im}(f):=\{f(x):x\in X\}\] を\(f\)の像集合または単に\(f\)の像という．また，\(A\subset X\)に対して， \[f(A):=\{f(x):x\in A\}\] を\(A\)の\(f\)による像という．
例えば，\(f:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(f(x)=x^2\)とする．このとき \[\operatorname{Im}(f)=[0,\infty).\] また\(A=[-2,1]\)とすると\(f(A)=[0,4]\)である．同じ写像でも，集合\(A\)を変えるとその像\(f(A)\)も変わる．
写像\(f:X\to Y\)と\(A,A_1,A_2\subset X\)について，次が成り立つ．
\(\operatorname{Im}(f)\subset Y\)．
\(f(X)=\operatorname{Im}(f)\)，\(f(\emptyset)=\emptyset\)．
\(A_1\subset A_2\)ならば\(f(A_1)\subset f(A_2)\)．
\(f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)\)．
\(f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)\)．
命題 10.5 の証明
(1) 各\(x\in X\)について\(f(x)\in Y\)なので，そのような要素を集めた\(\operatorname{Im}(f)\)は\(Y\)の部分集合である．
(2) 第1の等号は定義そのものである．また\(\emptyset\)には要素がないので，\(f(\emptyset)\)にも要素はなく，\(f(\emptyset)=\emptyset\)である．
(3) \(y\in f(A_1)\)とする．ある\(x\in A_1\)が存在して\(y=f(x)\)である．\(A_1\subset A_2\)なので\(x\in A_2\)であり，したがって\(y\in f(A_2)\)である．
(4) \(y\in f(A_1\cup A_2)\)とする．ある\(x\in A_1\cup A_2\)が存在して\(y=f(x)\)である．\(x\in A_1\)または\(x\in A_2\)なので，\(y\in f(A_1)\)または\(y\in f(A_2)\)である．よって\(y\in f(A_1)\cup f(A_2)\)である．逆に\(y\in f(A_1)\cup f(A_2)\)なら，\(A_1\)または\(A_2\)のある要素\(x\)に対して\(y=f(x)\)であるから，\(x\in A_1\cup A_2\)であり\(y\in f(A_1\cup A_2)\)である．
(5) \(y\in f(A_1\cap A_2)\)とする．ある\(x\in A_1\cap A_2\)が存在して\(y=f(x)\)である．すると\(x\in A_1\)かつ\(x\in A_2\)なので，\(y\in f(A_1)\)かつ\(y\in f(A_2)\)である．したがって\(y\in f(A_1)\cap f(A_2)\)である．
命題10.5(5)の包含は，一般には等号にはならない．
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)を\(f(x)=x^2\)，\(A_1=\{-1\}\)，\(A_2=\{1\}\)とする．このとき\(A_1\cap A_2=\emptyset\)なので \[f(A_1\cap A_2)=\emptyset\] である．一方，\(f(A_1)=f(A_2)=\{1\}\)なので \[f(A_1)\cap f(A_2)=\{1\}.\] したがって \[f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2)\] である．
写像\(f:X\to Y\)と\(B\subset Y\)に対して， \[f^{-1}(B):=\{x\in X:f(x)\in B\}\] を\(B\)の\(f\)による逆像 (inverse image) という．この定義では\(f^{-1}(B)\)全体が一つの記号であり，\(f^{-1}\)単独を写像として定義しているわけではない．
例えば，\(f:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(f(x)=x^2\)とする．\(B=[1,4]\)に対して \[f^{-1}(B)=[-2,-1]\cup[1,2].\] 逆像は，終域側の集合\(B\)に移る定義域の要素をすべて集めた集合である．
写像\(f:X\to Y\)と\(B,B_1,B_2\subset Y\)について，次が成り立つ．
\(f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\)，\(f^{-1}(Y)=X\)．
\(B_1\subset B_2\)ならば\(f^{-1}(B_1)\subset f^{-1}(B_2)\)．
\(f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)\)．
\(f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)\)．
全体集合を\(Y\)とした補集合について，\(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c\)．右辺の補集合の全体集合は\(X\)である．
\(f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)\)．
命題 10.8 の証明
いずれも逆像の定義に戻って示す．
(1) \(x\in f^{-1}(\emptyset)\)なら\(f(x)\in\emptyset\)となるが，そのような\(x\)は存在しない．したがって\(f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\)である．また任意の\(x\in X\)について\(f(x)\in Y\)なので\(x\in f^{-1}(Y)\)であり，\(f^{-1}(Y)=X\)である．
(2) \(x\in f^{-1}(B_1)\)なら\(f(x)\in B_1\)である．\(B_1\subset B_2\)から\(f(x)\in B_2\)なので\(x\in f^{-1}(B_2)\)である．
(3) \[x\in f^{-1}(B_1\cup B_2) \Longleftrightarrow f(x)\in B_1\cup B_2 \Longleftrightarrow f(x)\in B_1\lor f(x)\in B_2,\] これは\(x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)\)と同値である．
(4) 同様に，\(f(x)\in B_1\cap B_2\)であることと，\(f(x)\in B_1\)かつ\(f(x)\in B_2\)であることは同値なので等号が成り立つ．
(5) \(x\in f^{-1}(B^c)\)であることと\(f(x)\notin B\)であることは同値である．これは\(x\notin f^{-1}(B)\)，すなわち\(x\in(f^{-1}(B))^c\)を意味する．逆も同様である．
(6) \(x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)\)であることと，\(f(x)\in B_1\)かつ\(f(x)\notin B_2\)であることは同値であり，これは\(x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)\)と同値である．
写像\(f:X\to Y\)，\(A\subset X\)，\(B\subset Y\)について，次が成り立つ．
\(A\subset f^{-1}(f(A))\)．
\(f(f^{-1}(B))=B\cap\operatorname{Im}(f)\)．
\[f(A)\subset B\quad\Longleftrightarrow\quad A\subset f^{-1}(B).\]
命題 10.9 の証明
(1) \(x\in A\)なら\(f(x)\in f(A)\)なので，逆像の定義から\(x\in f^{-1}(f(A))\)である．
(2) \(y\in f(f^{-1}(B))\)なら，ある\(x\in f^{-1}(B)\)について\(y=f(x)\)である．\(x\in f^{-1}(B)\)から\(f(x)\in B\)なので\(y\in B\)であり，また\(y=f(x)\)なので\(y\in\operatorname{Im}(f)\)である．したがって左辺は右辺に含まれる．逆に\(y\in B\cap\operatorname{Im}(f)\)とする．\(y\in\operatorname{Im}(f)\)なので\(y=f(x)\)となる\(x\in X\)が存在する．さらに\(y\in B\)なので\(x\in f^{-1}(B)\)であり，\(y=f(x)\in f(f^{-1}(B))\)である．
(3) \(f(A)\subset B\)とする．\(x\in A\)なら\(f(x)\in f(A)\subset B\)なので\(x\in f^{-1}(B)\)であり，\(A\subset f^{-1}(B)\)である．逆に\(A\subset f^{-1}(B)\)とする．\(y\in f(A)\)なら，ある\(x\in A\)について\(y=f(x)\)である．仮定から\(x\in f^{-1}(B)\)なので\(f(x)\in B\)であり，\(y\in B\)である．したがって\(f(A)\subset B\)である．
写像\(f:X\to Y\)と\(A,B\subset X\)について， \[f(A\setminus B)\supset f(A)\setminus f(B)\] が成り立つ．一般には等号とは限らない．
命題 10.10 の証明
\(y\in f(A)\setminus f(B)\)をとる．ある\(x\in A\)について\(y=f(x)\)である．もし\(x\in B\)なら\(y=f(x)\in f(B)\)となり仮定に反するので\(x\notin B\)である．したがって\(x\in A\setminus B\)であり，\(y\in f(A\setminus B)\)である．
等号が成り立たない例として\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，\(f(x)=x^2\)，\(A=\{-1,1\}\)，\(B=\{-1\}\)を考える．このとき\(A\setminus B=\{1\}\)なので\(f(A\setminus B)=\{1\}\)であるが，\(f(A)=f(B)=\{1\}\)なので\(f(A)\setminus f(B)=\emptyset\)である．
10.3 写像の制限
写像\(f:X\to Y\)と部分集合\(A\subset X\)に対して，\(A\)の各要素\(x\)に\(f(x)\)を対応させる写像 \[f|_A:A\to Y\] を\(f\)の\(A\)への制限という．
例えば，\(f:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(f(x)=x^2\)とすると，\(f|_{[0,\infty)}\)は \[f|_{[0,\infty)}:[0,\infty)\to\mathbb R,\qquad x\mapsto x^2\] という写像である．同じ式で定まる写像でも，定義域を変えると写像としての性質が変わることがある．
10.4 二項演算
集合\(X\)に対して，写像 \[\ast:X\times X\to X\] を\(X\)上の二項演算という．順序対\((x,y)\)の像\(\ast(x,y)\)を\(x\ast y\)と書くことが多い．
整数の加法は \[+ :\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\qquad (a,b)\mapsto a+b\] という二項演算である．また，集合\(X\)を固定すると，合併は \[\cup:2^X\times2^X\to2^X,\qquad(A,B)\mapsto A\cup B\] という二項演算である．命題6.10で証明した交換法則や結合法則は，この二項演算が満たす性質とみなすことができる．
10.5 合成写像と恒等写像
写像\(f:X\to Y\)と\(g:Y\to Z\)に対して， \[(g\circ f)(x):=g(f(x))\qquad(x\in X)\] で定まる写像\(g\circ f:X\to Z\)を\(f\)と\(g\)の合成写像 (composite map) という．
例えば，\(f:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(f(x)=x+1\)，\(g:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(g(x)=x^2\)とすると， \[(g\circ f)(x)=(x+1)^2, \qquad (f\circ g)(x)=x^2+1.\] 一般に\(g\circ f\)と\(f\circ g\)は異なる．また，合成の順序によっては定義できない場合もあるので，定義域と終域を確認することが重要である．
写像\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)，\(h:Z\to W\)について， \[h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\] が成り立つ．
命題 10.15 の証明
任意の\(x\in X\)について， \[(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))\] であり， \[((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))\] である．したがって両写像はすべての\(x\in X\)で同じ値をとるので等しい．
写像\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)と\(A\subset X\)について， \[(g\circ f)(A)=g(f(A))\] が成り立つ．
命題 10.16 の証明
\(z\in(g\circ f)(A)\)とする．ある\(x\in A\)が存在して\(z=g(f(x))\)である．\(f(x)\in f(A)\)なので\(z\in g(f(A))\)である．逆に\(z\in g(f(A))\)とすると，ある\(y\in f(A)\)が存在して\(z=g(y)\)である．\(y\in f(A)\)なので，ある\(x\in A\)について\(y=f(x)\)である．したがって\(z=g(f(x))=(g\circ f)(x)\)となり，\(z\in(g\circ f)(A)\)である．
集合\(X\)に対して，各\(x\in X\)を自分自身に対応させる写像 \[\operatorname{id}_X:X\to X,\qquad x\mapsto x\] を\(X\)の恒等写像 (identity map) という．
写像\(f:X\to Y\)について， \[f\circ\operatorname{id}_X=f, \qquad \operatorname{id}_Y\circ f=f\] が成り立つ．
命題 10.18 の証明
任意の\(x\in X\)について， \[(f\circ\operatorname{id}_X)(x)=f(\operatorname{id}_X(x))=f(x)\] であり， \[(\operatorname{id}_Y\circ f)(x)=\operatorname{id}_Y(f(x))=f(x)\] である．したがって両等式が成り立つ．