10回目：写像
10.1 写像
空集合でない集合$X$から集合$Y$への対応を考える．このとき次の2つの性質を持つとき，$X$から$Y$への写像 (map) と呼ぶ．
対応する対象が数値，つまり$Y$が実数の集合$\mathbb{R}$や複素数の集合$\mathbb{C}$の場合，関数と呼ぶこともある．
- $X$の1つの要素から対応する$Y$の要素は1つしかない（$X$の異なる2つの要素が同じ$Y$の要素と対応してもよい）．
- 任意の$X$の要素について，対応する$Y$の要素が必ずある．
一般に，集合$X$から集合$Y$への写像を \begin{equation} f : X \rightarrow Y \nonumber \end{equation} と書く．これは写像$f$によって，$X$の要素$x$に対応して，$Y$の要素$f(x)$が定まっていることを意味している．$f: X_1 \times X_2 \to Y$のような写像の場合，$f((x_1,x_2))$の代わりに$f(x_1,x_2)$と書く． また写像によって要素$x$に対して要素$y$が対応することを$x \mapsto y$と書く．上の$f$で考えると，$x \mapsto f(x)$となっている．この記号は写像を具体的に定義するときによく使う． 例えば，実数を2倍にする写像$f$は以下のように表せる：
$f:$
$\mathbb{R}$
$\longrightarrow$
$\mathbb{R}$
$\in$
$\in$
$x$
$\longmapsto$
$2x$
写像$f : X\to Y$に対し，集合$X$を写像の定義域 (domain) と呼び，集合$Y$を終域 (codomain) と呼ぶ．
また要素$x \in X$に対応する$Y$の要素$f(x)$は$f$による$x$の像 (image)という．$f$と$f(x)$は写像と像を区別して表していることに注意する．
この像を全て集めた集合
\begin{equation}
{\rm Im} (f):= \{ f(x) : x \in X \}
\nonumber
\end{equation}
を$f$の像，または$f$の値域 (range)という．
このとき，いつでも${\rm Im} (f) \subset Y$であるが，${\rm Im} (f) = Y$になるとは限らない．
部分集合$A \subset X$に対し，
\[
f(A) :=\{ f(x) : x \in A\}
\]
を$f$による$A$の像という．
このとき，
- $f(A) \subset {\rm Im} (f)$
- $f(X)={\rm Im} (f)$かつ$f(\emptyset)=\emptyset$
- $A_1 \subset A_2 \subset X$ならば$f(A_1) \subset f(A_2) \subset f(X)$
10.2 二項演算
集合$X$に対し，写像
\[
R : X \times X \to X
\]
のことを$X$上の（二項）演算と呼ぶ．
$R$が演算のときは，像$R(x,y)$の代わりに$xRy$と書くことが多い．これまで集合や論理の演算を扱ってきたが，すべてこのような写像となっている．例えば，すべての集合の集合を$S$としたとき，合併$\cup$は順序対$(A,B) \in S \times S$を$A \cup B \in S$に対応させる写像である．
10.3 合成写像
空集合でない集合$X,Y,Z$と
写像$f : X \rightarrow Y$と$g : Y \rightarrow Z$を考える．
このとき，$X$から$Z$への写像$g\circ f$（これで一つの写像を表す）を
\begin{equation}
(g \circ f) (x)=g(f(x)), ~~~ (x \in X)
\nonumber
\end{equation}
により定めることができる．
すなわち
である．この$g \circ f$を$f$と$g$の合成写像 (composite map) と呼ぶ．
$g \circ f:$
$X$
$\longrightarrow$
$Z$
$\in$
$\in$
$x$
$\longmapsto$
$g(f(x))$