9. 直積集合と冪集合
9.1 直積集合
二つの対象\(a,b\)を順序を考えて組にしたもの\((a,b)\)を順序対 (ordered pair) という．\(a\)を第1成分，\(b\)を第2成分という．二つの順序対\((a,b)\)と\((c,d)\)が等しいとは，\(a=c\)かつ\(b=d\)であることをいう．
集合\(A,B\)に対して， \[A\times B:=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}\] を\(A\)と\(B\)の直積集合または直積 (direct product) という．
\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{a,b,c\}\)ならば， \[A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}.\]
同じ集合を繰り返し直積するときには， \[A^2:=A\times A\] と書く．さらに，正の整数\(n\)について，\(A\)の要素を\(n\)個順序を付けて並べた\((a_1,\ldots,a_n)\)全体の集合を\(A^n\)と書く．例えば， \[\mathbb R^2=\{(x,y):x,y\in\mathbb R\},\qquad \mathbb R^n=\{(x_1,\ldots,x_n):x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R\}\] である．
順序対では成分の順序を区別する．例えば\(a\neq b\)ならば\((a,b)\neq(b,a)\)である．したがって直積集合も一般には順序を入れ替えることができない．実際，\(A=\{1\}\)，\(B=\{2\}\)ならば \[A\times B=\{(1,2)\},\qquad B\times A=\{(2,1)\}\] であり，\(A\times B\neq B\times A\)である．
集合\(A,B\)について，\(A\times B=\emptyset\)であることと，\(A=\emptyset\)または\(B=\emptyset\)であることは同値である．
命題 9.4 の証明
\(A=\emptyset\)なら第1成分を選べないので\(A\times B=\emptyset\)である．\(B=\emptyset\)の場合も同様である．
逆に\(A\times B=\emptyset\)であり，\(A\neq\emptyset\)かつ\(B\neq\emptyset\)と仮定する．すると\(a\in A\)と\(b\in B\)をそれぞれ一つ選べるので，\((a,b)\in A\times B\)となる．これは\(A\times B=\emptyset\)に矛盾する．したがって\(A\)または\(B\)の少なくとも一方は空集合である．
集合\(A,B,C\)について，次が成り立つ． \[A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C),\] \[A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C),\] \[(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C),\] \[(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C).\]
命題 9.5 の証明
第1の等式について， \[\begin{aligned} (a,b)\in A\times(B\cup C) &\Longleftrightarrow a\in A\land(b\in B\lor b\in C)\\ &\Longleftrightarrow (a\in A\land b\in B)\lor(a\in A\land b\in C)\\ &\Longleftrightarrow (a,b)\in(A\times B)\cup(A\times C) \end{aligned}\] である．第2の等式も\(\lor\)を\(\land\)に置き換えれば同様である．第3，第4の等式は第1成分について同じ議論を行えばよい．
\(A_1\subset A_2\)かつ\(B_1\subset B_2\)ならば， \[A_1\times B_1\subset A_2\times B_2\] である．
命題 9.6 の証明
\((a,b)\in A_1\times B_1\)をとる．すると\(a\in A_1\subset A_2\)かつ\(b\in B_1\subset B_2\)なので，\((a,b)\in A_2\times B_2\)である．
集合\(A,B,C\)について， \[A\times(B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)\] が成り立つ．
命題 9.7 の証明
\((a,b)\in A\times(B\setminus C)\)であることは，\(a\in A\)，\(b\in B\)，\(b\notin C\)が同時に成り立つことを意味する．これは\((a,b)\in A\times B\)かつ\((a,b)\notin A\times C\)であることと同値である．したがって両集合は等しい．
9.2 冪集合
集合\(A\)の部分集合全体からなる集合を\(A\)の冪集合 (power set) といい，\(2^A\)と書く．すなわち， \[2^A:=\{B:B\subset A\}\] である．
\(A=\{1,2\}\)ならば， \[2^A=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.\]
集合\(A,B\)について，次が成り立つ．
\(\emptyset\in2^A\)かつ\(A\in2^A\)．
\(2^{\emptyset}=\{\emptyset\}\)．
\(A\subset B\)であることと\(2^A\subset2^B\)であることは同値である．
\(2^{A\cap B}=2^A\cap2^B\)．
命題 9.10 の証明
(1) 命題6.2より\(\emptyset\subset A\)かつ\(A\subset A\)なので，冪集合の定義から\(\emptyset,A\in2^A\)である．
(2) 空集合の部分集合は空集合自身だけである．したがって\(2^{\emptyset}=\{\emptyset\}\)である．
(3) \(A\subset B\)とする．\(C\in2^A\)なら\(C\subset A\)であり，\(A\subset B\)と命題6.2(3)から\(C\subset B\)である．したがって\(C\in2^B\)なので\(2^A\subset2^B\)である．逆に\(2^A\subset2^B\)とする．(1)より\(A\in2^A\)なので\(A\in2^B\)である．よって\(A\subset B\)である．
(4) \(C\in2^{A\cap B}\)であることは\(C\subset A\cap B\)を意味する．これは\(C\subset A\)かつ\(C\subset B\)であることと同値である．したがって\(C\in2^A\)かつ\(C\in2^B\)であり，\(C\in2^A\cap2^B\)である．逆も同様なので等号が成り立つ．
集合\(A,B\)について， \[2^A\cup2^B\subset2^{A\cup B}\] である．この包含は等号になるとは限らない．
命題 9.11 の証明
\(C\in2^A\cup2^B\)とする．\(C\subset A\)または\(C\subset B\)なので，どちらの場合も\(C\subset A\cup B\)である．よって\(C\in2^{A\cup B}\)であり，包含が成り立つ．
等号が成り立たない例として\(A=\{1\}\)，\(B=\{2\}\)を考える．このとき\(\{1,2\}\in2^{A\cup B}\)であるが，\(\{1,2\}\)は\(A\)の部分集合でも\(B\)の部分集合でもないので\(\{1,2\}\notin2^A\cup2^B\)である．したがってこの例では真の包含であり，等号は成り立たない．
冪集合の定義から，集合\(A,B\)について \[A\subset B\Longleftrightarrow A\in2^B\] である．
集合\(A,B\)について， \[A=B\quad\Longleftrightarrow\quad 2^A=2^B\] が成り立つ．