11. 全射・単射・全単射
11.1 全射
写像\(f:X\to Y\)が全射 (surjective) であるとは， \[\forall y\in Y\ \exists x\in X\ (f(x)=y)\] が成り立つことをいう．すなわち，終域\(Y\)のすべての要素が，少なくとも一つの\(X\)の要素の像として現れるということである．全射は上への写像 (onto map) とも呼ばれる．
次の二つの写像を比べる．左の写像は全射であるが，右の写像は全射ではない．
右の図では\(c\in Y\)に入る矢印がないので，全射ではない．
写像 \[f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3\] が全射であることを示す．
任意の\(y\in\mathbb R\)をとる． \[x:=\frac{y+3}{2}\] とおけば\(x\in\mathbb R\)であり， \[f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y\] となる．したがって，任意の\(y\in\mathbb R\)に対して\(f(x)=y\)となる\(x\in\mathbb R\)が存在するので，\(f\)は全射である．
これに対して，\(g:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(g(x)=x^2\)で定めると，\(g(x)=-1\)となる実数\(x\)は存在しない．したがって\(g\)は全射ではない．全射であることを示すには終域の任意の要素に移る定義域の要素を見つければよく，全射でないことを示すには像に現れない終域の要素を一つ見つければよい．
写像\(f:X\to Y\)が全射であるための必要十分条件は， \[\operatorname{Im}(f)=Y\] である．
命題 11.3 の証明
\(f\)が全射なら，任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が存在するので\(y\in\operatorname{Im}(f)\)である．したがって\(Y\subset\operatorname{Im}(f)\)である．命題10.5(1)より逆の包含は常に成り立つので等号が得られる．
逆に\(\operatorname{Im}(f)=Y\)とする．任意の\(y\in Y\)は\(\operatorname{Im}(f)\)に属するので，ある\(x\in X\)について\(y=f(x)\)である．したがって\(f\)は全射である．
全射の場合には，終域側の集合を逆像で戻してから再び像をとると元に戻る．すなわち，任意の\(B\subset Y\)について \[f(f^{-1}(B))=B\] である．これは命題10.9と\(\operatorname{Im}(f)=Y\)から従う．
写像\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)について，次が成り立つ．
\(f,g\)がともに全射ならば，\(g\circ f\)も全射である．
\(g\circ f\)が全射ならば，\(g\)は全射である．
命題 11.4 の証明
(1) 任意の\(z\in Z\)をとる．\(g\)は全射なので\(g(y)=z\)となる\(y\in Y\)が存在する．また\(f\)は全射なので\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が存在する．すると \[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z\] である．よって\(g\circ f\)は全射である．
(2) 任意の\(z\in Z\)をとる．\(g\circ f\)は全射なので\((g\circ f)(x)=z\)となる\(x\in X\)が存在する．\(y:=f(x)\)とおけば\(g(y)=z\)なので，\(g\)は全射である．
11.2 単射
写像\(f:X\to Y\)が単射 (injective) であるとは，任意の\(x_1,x_2\in X\)に対して \[x_1\neq x_2\to f(x_1)\neq f(x_2)\] が成り立つことをいう．すなわち，異なる\(X\)の要素は異なる\(Y\)の要素に移るということである．単射は1対1の写像 (one-to-one map) とも呼ばれる．
対偶をとれば，単射であることは，任意の\(x_1,x_2\in X\)について \[f(x_1)=f(x_2)\to x_1=x_2\] が成り立つことと同値である．実際に単射であることを証明するときには，この形を使うことが多い．
次の二つの写像を比べる．左の写像は単射であるが，右の写像は単射ではない．
右の図では異なる\(1,2\in X\)がともに\(b\in Y\)へ移るので，単射ではない．
写像 \[f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x+1\] が単射であることを示す．
\(x_1,x_2\in\mathbb R\)について\(f(x_1)=f(x_2)\)と仮定する．すると \[3x_1+1=3x_2+1\] であり，これより\(x_1=x_2\)を得る．したがって\(f\)は単射である．
一方，\(g:\mathbb R\to\mathbb R\)を\(g(x)=x^2\)で定めると，\(1\neq-1\)であるにもかかわらず\(g(1)=g(-1)=1\)である．したがって\(g\)は単射ではない．単射でないことを示すには，異なる二つの要素で像が一致する例を一つ見つければよい．
写像\(f:X\to Y\)について，次の二条件は同値である．
\(f\)は単射である．
すべての\(A,B\subset X\)について， \[f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\] が成り立つ．
命題 11.7 の証明
(1)を仮定する．命題10.5(5)より\(f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)\)は常に成り立つ．逆の包含を示す．\(y\in f(A)\cap f(B)\)とすると，ある\(a\in A\)と\(b\in B\)について\(y=f(a)=f(b)\)である．\(f\)は単射なので\(a=b\)である．したがって\(a\in A\cap B\)であり，\(y\in f(A\cap B)\)である．
(2)を仮定する．\(x_1,x_2\in X\)について\(f(x_1)=f(x_2)\)とする．\(A:=\{x_1\}\)，\(B:=\{x_2\}\)とおく．すると\(f(A)\cap f(B)\)は空ではないので，(2)より\(f(A\cap B)\)も空ではない．したがって\(A\cap B\neq\emptyset\)であり，\(x_1=x_2\)である．よって\(f\)は単射である．
単射の場合には，定義域側の集合を像に送ってから逆像で戻すと元に戻る．すなわち，任意の\(A\subset X\)について \[f^{-1}(f(A))=A\] である．実際，命題10.9より\(A\subset f^{-1}(f(A))\)は常に成り立つ．逆に\(x\in f^{-1}(f(A))\)なら，ある\(a\in A\)について\(f(x)=f(a)\)であり，単射性から\(x=a\)なので\(x\in A\)である．
写像\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)について，次が成り立つ．
\(f,g\)がともに単射ならば，\(g\circ f\)も単射である．
\(g\circ f\)が単射ならば，\(f\)は単射である．
命題 11.8 の証明
(1) \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\)とする．すると\(g(f(x_1))=g(f(x_2))\)である．\(g\)が単射なので\(f(x_1)=f(x_2)\)であり，さらに\(f\)が単射なので\(x_1=x_2\)である．よって\(g\circ f\)は単射である．
(2) \(f(x_1)=f(x_2)\)とする．両辺に\(g\)を作用させると\((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\)である．\(g\circ f\)が単射なので\(x_1=x_2\)であり，\(f\)は単射である．
11.3 全単射
写像\(f:X\to Y\)が全射かつ単射であるとき，\(f\)を全単射 (bijective) という．全単射は1対1対応 (one-to-one correspondence) とも呼ばれる．
例えば，次の写像は全単射である．終域の各要素に，定義域の要素がちょうど一つずつ対応している．
写像 \[f:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad f(x)=x^2\] が全単射であることを示す．
まず全射であることを示す．任意の\(y\in[0,\infty)\)をとる．\(x:=\sqrt{y}\)とおけば\(x\in[0,\infty)\)であり，\(f(x)=x^2=y\)である．したがって\(f\)は全射である．
次に単射であることを示す．\(x_1,x_2\in[0,\infty)\)について\(f(x_1)=f(x_2)\)とする．すると\(x_1^2=x_2^2\)である．\(x_1,x_2\)はいずれも非負なので\(x_1=x_2\)である．したがって\(f\)は単射である．以上より\(f\)は全単射である．
同じ式\(x^2\)であっても，\(\mathbb R\to\mathbb R\)という写像として考えると全射でも単射でもない．このように，全射・単射・全単射であるかどうかは，対応の式だけでなく定義域と終域にも依存する．
写像\(f:X\to Y\)について，次の二条件は同値である．
\(f\)は全単射である．
任意の\(y\in Y\)に対して，\(f(x)=y\)を満たす\(x\in X\)がただ一つ存在する．
命題 11.11 の証明
(1)を仮定する．\(f\)は全射なので，任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が少なくとも一つ存在する．また\(f\)は単射なので，\(f(x_1)=y=f(x_2)\)ならば\(x_1=x_2\)である．したがってそのような\(x\)はただ一つである．
(2)を仮定する．任意の\(y\in Y\)に対して\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が存在するので\(f\)は全射である．また\(f(x_1)=f(x_2)\)とし，\(y:=f(x_1)=f(x_2)\)とおく．仮定より\(f(x)=y\)を満たす\(x\)はただ一つなので\(x_1=x_2\)である．したがって\(f\)は単射でもあり，全単射である．
写像\(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)がともに全単射ならば，\(g\circ f:X\to Z\)も全単射である．
命題 11.12 の証明
11.4 逆写像
写像\(f:X\to Y\)に対して，写像\(g:Y\to X\)が \[g\circ f=\operatorname{id}_X, \qquad f\circ g=\operatorname{id}_Y\] を満たすとき，\(g\)を\(f\)の逆写像 (inverse map) という．逆写像が存在するとき，それを\(f^{-1}\)と書く．
写像\(f:X\to Y\)について，次が成り立つ．
\(f\)が逆写像を持つための必要十分条件は，\(f\)が全単射であることである．
逆写像は，存在すれば一意である．
\(f\)が全単射ならば\(f^{-1}\)も全単射であり，\((f^{-1})^{-1}=f\)である．
定理 11.14 の証明
(1) まず\(f\)が逆写像\(g\)を持つとする．\(f(x_1)=f(x_2)\)なら，両辺に\(g\)を作用させて \[x_1=(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)=x_2\] となるので\(f\)は単射である．また任意の\(y\in Y\)に対して\(x=g(y)\)とおけば \[f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=y\] なので\(f\)は全射である．したがって\(f\)は全単射である．
逆に\(f\)が全単射とする．任意の\(y\in Y\)について，全射性から\(f(x)=y\)となる\(x\in X\)が存在し，単射性からその\(x\)はただ一つである．そこで\(y\)にこの唯一の\(x\)を対応させる写像\(g:Y\to X\)を定める．定義から\(g(f(x))=x\)かつ\(f(g(y))=y\)なので，\(g\circ f=\operatorname{id}_X\)かつ\(f\circ g=\operatorname{id}_Y\)である．したがって\(g\)は逆写像である．
(2) \(g,h:Y\to X\)がともに\(f\)の逆写像とする．合成写像の結合律と命題10.18より， \[g=g\circ\operatorname{id}_Y=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h =\operatorname{id}_X\circ h=h\] である．よって逆写像は一意である．
(3) \(f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X\)かつ\(f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y\)なので，\(f\)は\(f^{-1}\)の逆写像でもある．(1)より\(f^{-1}\)は全単射であり，一意性から\((f^{-1})^{-1}=f\)である．
例えば， \[f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1\] は全単射であり，\(y=2x+1\)を\(x\)について解くと\(x=(y-1)/2\)である．したがって逆写像は \[f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}\] である．実際，\(f^{-1}(f(x))=x\)かつ\(f(f^{-1}(y))=y\)を直接確認できる．