2. 数学の論理
集合を条件によって記述したり，数学的な主張を正確に表したりするためには，論理の言葉と記号が必要になる．ここではまず，真偽が定まる主張を組み合わせる基本的な方法を学ぶ．
2.1 命題
真であるか偽であるかが定まる主張を命題 (proposition) という．命題が真であるか偽であるかを，その命題の真理値 (truth value) という．
例えば，「\(2+3=5\)」は真の命題であり，「\(2+3=6\)」は偽の命題である．一方，「\(x+1=3\)」は，\(x\)の値を指定しなければ真偽が定まらないので，このままでは命題ではない．このような変数を含む主張については，後で詳しく扱う．
命題\(P,Q\)に対して，次の命題を考える．
「\(P\)ではない」を\(P\)の否定といい，\(\lnot P\)と書く．
「\(P\)かつ\(Q\)」を\(P,Q\)の連言といい，\(P\land Q\)と書く．
「\(P\)または\(Q\)」を\(P,Q\)の選言といい，\(P\lor Q\)と書く．
ここで「または」は，\(P,Q\)の両方が真の場合も含む．
これらの命題の真理値は，\(P,Q\)の真理値によって次のように定める． \[\begin{array}{c|c|c|c|c} P&Q&\lnot P&P\land Q&P\lor Q\\ \hline \text{真}&\text{真}&\text{偽}&\text{真}&\text{真}\\ \text{真}&\text{偽}&\text{偽}&\text{偽}&\text{真}\\ \text{偽}&\text{真}&\text{真}&\text{偽}&\text{真}\\ \text{偽}&\text{偽}&\text{真}&\text{偽}&\text{偽} \end{array}\] このように，命題の真理値を場合ごとに表にしたものを真理値表という．
例えば，\(P\)を「\(6\)は偶数である」，\(Q\)を「\(6\)は\(4\)の倍数である」とする．このとき\(P\)は真，\(Q\)は偽である．したがって\(P\land Q\)は偽，\(P\lor Q\)は真，\(\lnot Q\)は真である．このように，複合命題の真理値は，もとの命題の真理値から決まる．
一つまたは複数の命題から，\(\lnot,\land,\lor\)などの論理記号を有限回用いて作られる命題を複合命題という．複合命題の真理値は，内側に現れる論理演算から順に真理値表を用いて定める．
例えば，\((P\lor Q)\land\lnot P\)の真理値を調べるときには，まず\(P\lor Q\)と\(\lnot P\)の真理値を求め，最後にそれらの連言をとればよい．