情報数理演習A

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2回目：集合の演算

2.1 集合の演算

集合に関して以下の演算を定義する．
  • 合併(和) (union)：$A \cup B = \{x : x \in A \mbox{または} x \in B\}$
  • 共通部分(積) (intersection)：$A \cap B = \{x : x \in A \mbox{かつ} x \in B\}$
  • 差 (setminus)：$A \setminus B = \{x : x \in A\mbox{かつ} x \not\in B\}$
集合は，次の法則を満たす．
  • 冪等法則：$A\cup A = A$
  • 冪等法則：$A\cap A = A$
  • 交換法則：$A \cup B = B \cup A$
  • 交換法則：$A \cap B = B \cap A$
  • 結合法則：$(A\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
  • 結合法則：$(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
  • 分配法則：$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  • 分配法則：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
また一般に，以下が成り立つ： \[A \cap B \subset A ,B \ \ \ \ \ \mbox{および}\ \ \ \ \ A,B \subset A \cup B \]

2.2 普遍集合と補集合

考察中のすべての集合の要素全体が含まれている大きな集合を普遍集合 (universal set) または全体集合と呼び$U$で表す． また，普遍集合の要素であるが，集合$A$の要素ではない要素からなる集合を$A$の補集合 (complement) と呼び，$A^{\mathsf{c}}$や$\overline{A}$と表す．
すなわち，
  • $A^{\mathsf{c}} = \{x : x \in U\mbox{かつ} x \not\in A\}$
である． 普遍集合と補集合に関しては，次の法則を満たす．
  • 恒等法則：$A \cup \emptyset = A$
  • 恒等法則：$A \cap U = A$
  • 恒等法則：$A \cup U = U$
  • 恒等法則：$A \cap \emptyset = \emptyset$
  • 補集合の法則：$A \cup A^{\mathsf{c}} = U$
  • 補集合の法則：$A \cap A^{\mathsf{c}} = \emptyset$
  • 補集合の法則：$U^{\mathsf{c}} = \emptyset$
  • 補集合の法則：$\emptyset^{\mathsf{c}} = U$
  • 補集合の法則：$(A^{\mathsf{c}})^{\mathsf{c}} = A$

2.3 補集合の包含関係

集合$A$が集合$B$の部分集合であるとき，つまり，$A \subset B$のとき， \[ A^{\mathsf{c}} \supset B^{\mathsf{c}} \] が成り立つ．実際，任意の$x \in B^{\mathsf{c}}$をとってくると，これは$x \notin B$を意味している．$A$は$B$の部分集合なので，特に$x \notin A$であり，これは$x \in A^{\mathsf{c}}$を意味するので，$A^{\mathsf{c}} \supset B^{\mathsf{c}}$が成り立つ．

2.4 ド・モルガンの法則

集合の和と積(共通部分)と補集合について，以下のド・モルガンの法則が成り立つ．
  • ド・モルガンの法則：$(A \cup B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}} \cap B^{\mathsf{c}}$
  • ド・モルガンの法則：$(A \cap B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}} \cup B^{\mathsf{c}}$

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