3. 命題論理
複合命題の真理値を比較すると，見かけの異なる命題が常に同じ内容を表していることがある．ここでは，そのような論理同値と，数学で特に重要な含意を扱う．
3.1 論理同値，恒真命題と矛盾命題
命題\(P,Q\)が，考えられるすべての場合に同じ真理値をとるとき，\(P\)と\(Q\)は論理同値であるといい， \[P\Longleftrightarrow Q\] と書く．
ここで\(\Longleftrightarrow\)は，\(P,Q\)から新しい命題を作る論理記号ではなく，「\(P\)と\(Q\)の真理値が常に一致する」という関係を表すために用いる．
考えられるすべての場合に真となる命題を恒真命題 (tautology) といい，\(\top\)と書く．考えられるすべての場合に偽となる命題を矛盾命題 (contradiction) といい，\(\bot\)と書く．
論理同値が成り立つかどうかは，両辺の真理値表を作れば判定できる．以下のように，真理値表を直接埋めれば確認できる法則については，個々の証明は省略する．一方，既に得られた法則を組み合わせる必要があるものや，論理的な議論の仕組みが重要なものについては証明を付ける．
例えば\(P\land Q\)と\(Q\land P\)は，\(P,Q\)の真理値がどのような場合でも同じ真理値をとる．したがって \[P\land Q\Longleftrightarrow Q\land P\] である．このような同値は真理値表だけで直接確認できる．
命題\(P,Q,R\)について，次の論理同値が成り立つ．
冪等律 \[P\land P\Longleftrightarrow P,\qquad P\lor P\Longleftrightarrow P.\]
交換律 \[P\land Q\Longleftrightarrow Q\land P,\qquad P\lor Q\Longleftrightarrow Q\lor P.\]
結合律 \[(P\land Q)\land R\Longleftrightarrow P\land(Q\land R),\] \[(P\lor Q)\lor R\Longleftrightarrow P\lor(Q\lor R).\]
分配律 \[P\land(Q\lor R)\Longleftrightarrow(P\land Q)\lor(P\land R),\] \[P\lor(Q\land R)\Longleftrightarrow(P\lor Q)\land(P\lor R).\]
吸収律 \[P\land(P\lor Q)\Longleftrightarrow P,\qquad P\lor(P\land Q)\Longleftrightarrow P.\]
恒真命題・矛盾命題との演算 \[P\land\top\Longleftrightarrow P,\qquad P\lor\bot\Longleftrightarrow P,\] \[P\lor\top\Longleftrightarrow\top,\qquad P\land\bot\Longleftrightarrow\bot.\]
排中律と矛盾律 \[P\lor\lnot P\Longleftrightarrow\top,\qquad P\land\lnot P\Longleftrightarrow\bot.\]
二重否定律 \[\lnot\lnot P\Longleftrightarrow P.\]
ド・モルガンの法則 \[\lnot(P\land Q)\Longleftrightarrow(\lnot P)\lor(\lnot Q),\] \[\lnot(P\lor Q)\Longleftrightarrow(\lnot P)\land(\lnot Q).\]
例えばド・モルガンの法則の第1式は，次の真理値表の最後の2列が一致することから確認できる． \[\begin{array}{c|c|c|c} P&Q&\lnot(P\land Q)&(\lnot P)\lor(\lnot Q)\\ \hline \text{真}&\text{真}&\text{偽}&\text{偽}\\ \text{真}&\text{偽}&\text{真}&\text{真}\\ \text{偽}&\text{真}&\text{真}&\text{真}\\ \text{偽}&\text{偽}&\text{真}&\text{真} \end{array}\] 残りも同じ方法で確認できる．
3.2 含意
命題\(P,Q\)に対して，「\(P\)ならば\(Q\)」という命題を含意 (implication) といい，\(P\to Q\)と書く．\(P\)を仮定，\(Q\)を結論という．その真理値を次のように定める． \[\begin{array}{c|c|c} P&Q&P\to Q\\ \hline \text{真}&\text{真}&\text{真}\\ \text{真}&\text{偽}&\text{偽}\\ \text{偽}&\text{真}&\text{真}\\ \text{偽}&\text{偽}&\text{真} \end{array}\]
したがって，\(P\to Q\)が偽になるのは「\(P\)が成り立つのに\(Q\)が成り立たない」場合だけである．特に\(P\)が偽ならば，\(Q\)の真偽にかかわらず\(P\to Q\)は真である．数学で用いる「ならば」は，時間的な前後関係や因果関係ではなく，この真理値によって定まる．
命題\(P,Q\)について， \[P\to Q\Longleftrightarrow\lnot P\lor Q, \qquad \lnot(P\to Q)\Longleftrightarrow P\land\lnot Q\] が成り立つ．
これは\(P,Q\)の4通りの真理値について表を作れば直接確認できる．
含意\(P\to Q\)に対して， \[Q\to P\] をその逆 (converse)， \[\lnot P\to\lnot Q\] をその裏， \[\lnot Q\to\lnot P\] をその対偶 (contrapositive) という．
命題\(P,Q\)について， \[P\to Q\Longleftrightarrow\lnot Q\to\lnot P\] が成り立つ．また，逆\(Q\to P\)と裏\(\lnot P\to\lnot Q\)も論理同値である．
命題 3.7 の証明
命題3.5と交換律を用いると， \[P\to Q \Longleftrightarrow \lnot P\lor Q \Longleftrightarrow Q\lor\lnot P \Longleftrightarrow \lnot Q\to\lnot P\] である．\(Q\to P\)に同じ結果を適用すれば，その対偶\(\lnot P\to\lnot Q\)と論理同値であることも分かる．
逆や裏は，元の含意と論理同値とは限らない．これは真理値表から確認できる．
二つの命題が互いに相手を含意することを一つの命題として表したいときには， \[P\leftrightarrow Q:= (P\to Q)\land(Q\to P)\] と書き，「\(P\)であることと\(Q\)であることは同値である」と読む．真理値表を作ると，\(P\leftrightarrow Q\)は\(P,Q\)の真理値が一致するときに真となる．したがって， \[P\Longleftrightarrow Q\] であることと，命題\(P\leftrightarrow Q\)が恒真命題であることは同値である．記号\(\leftrightarrow\)は一つの命題を作るのに対し，\(\Longleftrightarrow\)は二つの命題が論理同値であることを表す，という違いに注意する．
命題\(P,Q,R\)について， \[(P\to Q)\land(Q\to R)\to(P\to R)\] は恒真命題である．
命題 3.8 の証明
\((P\to Q)\land(Q\to R)\)が真である場合だけ考えればよい．さらに\(P\)が真なら，\(P\to Q\)が真なので\(Q\)が真であり，\(Q\to R\)が真なので\(R\)も真である．したがって\(P\to R\)は真である．一方，\(P\)が偽ならば，含意の定義から\(P\to R\)は真である．よってこの命題は常に真である．