6回目：述語論理

6.1 述語

述語は変数$x$に具体的な値を代入することによって命題となる． 変数を増やして$P(x_1,x_2,\ldots,x_n)$という命題も考えられる．

6.2 全称命題と存在命題

例えば，$x$が$A=\{1,2,3,4,5\}$を動くなら， \[ \forall x \in A (P(x)) \Leftrightarrow P(1) \land P(2) \land P(3) \land P(4) \land P(5) \] を意味している． 例えば，$x$が$A=\{1,2,3,4,5\}$を動くなら， \[ \exists x \in A (P(x)) \Leftrightarrow P(1) \lor P(2) \lor P(3) \lor P(4) \lor P(5) \] を意味している． よって，次の推論が成り立つ． \[ \forall x (P(x)) \Rightarrow \exists x (P(x)) \] 複数の変数に対して$\forall$または$\exists$が連続で出てくる場合，例えば，$\forall x( \exists y ( P(x,y)))$の場合は$\forall x \exists y (P(x,y))$のように記号の前のカッコを省略する． 複数の変数に対して$\forall$と$\exists$の両方が出てくる場合，順番が非常に重要となる．例えば， \[ \forall x \exists y (P(x,y)) \] は「すべての$x$について，その$x$ごと対して，ある$y$について$P(x,y)$である」 ということであり， \[ \exists x \forall y (P(x,y)) \] は「ある$x$について，少なくともその$x$に対して，すべての$y$について$P(x,y)$である」 ということである．

6.3 述語論理での推論

述語$P(x)$, $Q(x)$について，次の式が成り立つ． \begin{eqnarray} \forall x (P(x) \land Q(x)) & \Leftrightarrow & \forall x (P(x)) \land \forall x (Q(x)) \nonumber \\ \exists x (P(x) \lor Q(x)) & \Leftrightarrow & \exists x (P(x)) \lor \exists x (Q(x)) \nonumber \end{eqnarray} 全称記号，あるいは，存在記号を含む命題の否定について，次の式が成り立つ． \begin{eqnarray} \lnot(\forall x (P(x))) & \Leftrightarrow & \exists x (\lnot P(x)) \nonumber \\ \lnot(\exists x (P(x))) & \Leftrightarrow & \forall x (\lnot P(x)) \nonumber \end{eqnarray} なぜ$\forall$と$\exists$が入れ替わるかは，例えば$x$が$5$以下の自然数を動くなら，ド・モルガンの法則より \begin{align*} \lnot (\forall x (P(x))) & \Leftrightarrow \lnot (P(1) \land P(2) \land P(3) \land P(4) \land P(5))\\ &\Leftrightarrow \lnot P(1) \lor \lnot P(2) \lor \lnot P(3) \lor \lnot P(4) \lor \lnot P(5)\\ & \Leftrightarrow \exists x (\lnot P(x)) \end{align*} が成り立つことから想像できる． また，次の推論が成り立つ． \begin{equation} \exists x \forall y (P(x,y)) \Rightarrow \forall y \exists x (P(x,y)) \nonumber \end{equation}