7回目：命題の証明

7.1 証明とは

数学における証明とは，命題が常に真となることを導くことである． たとえば，命題$P$を「勉強した」，命題$Q$を「数学の試験に失敗した」，命題$R$を「バスケットボールをした」とするとき， 次の3つの前提条件

• 勉強したならば，数学の試験に失敗しなかった
• バスケットボールをしていなかったならば，勉強した
• 数学の試験に失敗した

から，結論「バスケットボールをした」を導くことは，以下の推論に対応する． \[ (P \rightarrow \lnot Q) \land (\lnot R \rightarrow P) \land Q \Rightarrow R \] これが正しいことは， \begin{align*} (P \rightarrow \lnot Q) \land (\lnot R \rightarrow P) \land Q &\Leftrightarrow (\lnot P \lor \lnot Q) \land (R \lor P) \land Q\\ &\Leftrightarrow ((\lnot P \lor \lnot Q) \land Q) \land (R \lor P) \\ &\Leftrightarrow (\lnot P \land Q) \land (R \lor P)\\ &\Leftrightarrow Q \land (\lnot P \land (R \lor P))\\ &\Leftrightarrow Q \land (\lnot P \land R)\\ &\Leftrightarrow (Q \land \lnot P) \land R \Rightarrow R \end{align*} の式変形（それぞれどの法則を使ったか考えてみよう）または$( (P \rightarrow \lnot Q) \land (\lnot R \rightarrow P) \land Q) \rightarrow R$の真理値表で確かめられる（もし正しくなければそれも真理値表で確かめられる）．

7.2 三段論法

「$P \Rightarrow Q$である，かつ，$Q \Rightarrow R$であれば，$P \Rightarrow R$である」という論法は三段論法と呼ばれる．ここの$P\Rightarrow Q$などは単に$P \rightarrow Q$が真であるという意味で使われていると考えて良い． すなわち，以下の推論が成り立つ（前々回の演習問題で確かめた）． \[ (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R) \]

7.3 対偶による証明

すでに述べたように，命題$P \rightarrow Q$とその対偶$\lnot Q \rightarrow \lnot P$は真偽が常に一致する． したがって，$P \Rightarrow Q$を証明する代わりに，その対偶$\lnot Q \Rightarrow \lnot P$を証明してもよい．

7.4 同値の証明

$P \Leftrightarrow Q$は「$P \Rightarrow Q$である，かつ$Q \Rightarrow P$である」を意味するので，片方ずつ証明すれば良い．この他にも，対偶を考えると を示しても良い． 複数個の同値$P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow R$を示すには，例えば， を示すなどの方法がある．

7.5 背理法

命題$X$の証明をするときに，$\lnot X$から始まる推論によって$\bot$を導く， すなわち， \[ \lnot X \Rightarrow \bot \] を示すことである．