8回目：集合族の共通部分と合併
8.1 集合族
集合を要素として持つ集合を集合族 (family of sets)と呼ぶ．
たとえば，$A=\{a,b,c,d\}$とする．$\mathcal{A}$を，$A$の要素のうち，ちょうど3個の要素からなる部分集合全体からなる集合族とする．このとき，
\[
{\mathcal A} = \{\{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}\}
\]
であり，${\mathcal A}$の要素は，$\{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}$である．
集合族の要素である集合がいずれもある集合$A$の部分集合であるとき，その集合族を$A$の部分集合族 (family of subsets)と呼ぶ．
集合族を表すときは添字集合というものを使うことが多い．
例えば，先ほどの例で，$A_1=\{a,b,c\},A_2=\{a,b,d\},A_3=\{a,c,d\},A_4=\{b,c,d\}$とすると，$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$と書けるが，この$A_1,A_2,A_3,A_4$の右下に添えられている$1,2,3,4$を添字 (index)といい，これらを集めた集合$\{1,2,3,4\}$を添字集合 (index set)という．$\Lambda=\{1,2,3,4\}$とすると，内包的記法で$\mathcal{A}=\{A_{\lambda} : \lambda \in \Lambda\}$と書けるが，
\[
\mathcal{A}=\{ A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}
\]
という表現方法もある．
添字集合が$\{1,2,\ldots,n\}$や自然数全体$\mathbb{N}$のときは，
$\{ A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$を$\{ A_k\}_{k=1}^{n}$や$\{ A_k\}_{k=1}^{\infty}$と書くこともある．例えば，自然数$n \in \mathbb{N}$に対して，$A_n=\{1,2,\ldots,n\}$とすると\begin{align*}
&\{A_k\}_{k=1}^{n}=\{\{1\},\{1,2\},\ldots,\{1,2,\ldots,n\}\}\\
&\{A_k\}_{k=1}^{\infty}=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\ldots\}\
\end{align*}
である．どの無限集合族も$\{A_1,A_2,A_3,\ldots\}$と$1,2,3,\ldots$で添字付けられるとは限らない（簡単にいうと集合の中には要素を$1$番目, $2$番目, $\ldots$と順番付けできないくらい``大きい"集合があるからである）．これは可算集合と非可算集合という概念を後日学習したときに確認する．
8.2 集合族の共通部分と合併
2つの集合$A,B$の共通部分$A \cap B$と合併$A \cup B$の定義を論理式で書くと， \begin{align*} x \in A \cap B &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} x \in A \land x \in B\\ x \in A \cup B &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} x \in A \lor x \in B \end{align*} と書くことができる． ここの$\underset{\rm def}{\Leftrightarrow}$という記号は「左の条件を，右の条件で定義する」という意味である．これを2個以上の集合に拡張する．
集合族$\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$に対し，その共通部分$\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n} A_k$と合併$\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} A_k$を
\begin{align*}
x \in \bigcap_{k=1}^{n} A_k &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} x \in A_1 \land x \in A_2 \land \cdots \land x \in A_n\\
x \in \bigcup_{k=1}^{n} A_k &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \cdots \lor x \in A_n
\end{align*}
で定義する．
結局これは，$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$と$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$を意味している．これを一般の添字集合$\Lambda$にして考えたいが，右辺が$\forall$と$\exists$で書き換えられることを思い出すと自然に定義できる．
添字集合を$\Lambda$とする集合族$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$の共通部分$\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$と合併$\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$を
\begin{align*}
x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} \forall \lambda \in \Lambda ( x \in A_{\lambda})\\
x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} &\underset{\rm def}{\Leftrightarrow} \exists \lambda \in \Lambda ( x \in A_{\lambda})
\end{align*}
で定義する．添字集合が$\mathbb{N}$のときは，$\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} A_{k}$や$\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}$とも書く．
また添字集合を定めずに集合族$\mathcal{A}$の共通部分と合併を考えるときは$\displaystyle\bigcap_{X \in \mathcal{A}} X$や$\displaystyle\bigcup_{X \in \mathcal{A}} X$とも書く．