8. 集合族の共通部分と合併
8.1 集合族
要素がすべて集合である集合を集合族 (family of sets) という．
\(A=\{a,b,c,d\}\)とする．\(A\)の3個の要素からなる部分集合全体は \[\mathcal{A}=\{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}\] という集合族をなす．
集合\(\Lambda\)の各要素\(\lambda\)に対して集合\(A_\lambda\)を一つ指定したものを添字付き集合族といい， \[\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\] と書く．\(\Lambda\)を添字集合，\(\lambda\)を添字 (index) という．ここで，添字として用いる対象は数に限らず，異なる添字に同じ集合が対応してもよい．
8.2 集合族の共通部分と合併
全体集合\(U\)を固定し，各\(A_\lambda\subset U\)とする．添字付き集合族\(\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)の共通部分と合併をそれぞれ \[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda :=\{x\in U:\forall\lambda\in\Lambda\ (x\in A_\lambda)\},\] \[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda :=\{x\in U:\exists\lambda\in\Lambda\ (x\in A_\lambda)\}\] で定める．
添字集合が空集合の場合には，空集合上の全称命題が真で，存在命題が偽であることから， \[\bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=U, \qquad \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=\emptyset\] となる．
例えば，\(A_n:=\{n,n+1,n+2,\ldots\}\subset\mathbb N\) \((n\in\mathbb N)\) とする．このとき \[\bigcap_{n\in\mathbb N}A_n=\emptyset, \qquad \bigcup_{n\in\mathbb N}A_n=\mathbb N.\] 前者では，どの自然数も十分大きい\(n\)に対して\(A_n\)に属さなくなることを用いている．
有限個の集合\(A_1,\ldots,A_n\)の場合には，この記法は \[\bigcap_{i=1}^n A_i=A_1\cap\cdots\cap A_n,\qquad \bigcup_{i=1}^n A_i=A_1\cup\cdots\cup A_n\] という通常の共通部分・合併と一致する．
全体集合\(U\)を固定し，各\(A_\lambda\subset U\)とする．このとき， \[\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^c =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^c, \qquad \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^c =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^c\] が成り立つ．
定理 8.5 の証明
任意の\(x\in U\)について， \[\begin{aligned} x\in\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^c &\Longleftrightarrow \lnot\bigl(\exists\lambda\in\Lambda\ (x\in A_\lambda)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow \forall\lambda\in\Lambda\ (x\notin A_\lambda)\\ &\Longleftrightarrow \forall\lambda\in\Lambda\ (x\in A_\lambda^c)\\ &\Longleftrightarrow x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^c \end{aligned}\] である．第2の論理同値には定理5.7を用いた．したがって第1の等式が成り立つ．第2の等式も同様に，\(\forall\)の否定が\(\exists\)に変わることから従う．
全体集合\(U\)を固定し，\(B\subset U\)かつ各\(A_\lambda\subset U\)とする．このとき， \[B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right) =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\cap A_\lambda),\] \[B\cup\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right) =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\cup A_\lambda)\] が成り立つ．
命題 8.6 の証明
第1の等式について， \[\begin{aligned} x\in B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right) &\Longleftrightarrow x\in B\land\exists\lambda\ (x\in A_\lambda)\\ &\Longleftrightarrow \exists\lambda\in\Lambda\ (x\in B\land x\in A_\lambda)\\ &\Longleftrightarrow x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\cap A_\lambda) \end{aligned}\] である．第2の等式についても， \[\begin{aligned} x\in B\cup\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right) &\Longleftrightarrow x\in B\lor\forall\lambda\ (x\in A_\lambda)\\ &\Longleftrightarrow \forall\lambda\in\Lambda\ (x\in B\lor x\in A_\lambda)\\ &\Longleftrightarrow x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\cup A_\lambda) \end{aligned}\] である．したがって両等式が成り立つ．
全体集合\(U\)を固定し，同じ添字集合\(\Lambda\)で添字付けられた集合族\(\{A_\lambda\}\)，\(\{B_\lambda\}\)の各集合が\(U\)の部分集合であるとする．すべての\(\lambda\in\Lambda\)で\(A_\lambda\subset B_\lambda\)ならば， \[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda, \qquad \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\] である．
命題 8.7 の証明
\(x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\)ならば，ある\(\lambda\in\Lambda\)について\(x\in A_\lambda\)である．仮定から\(x\in B_\lambda\)なので\(x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\)である．したがって第1の包含が成り立つ．また\(x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\)ならば，すべての\(\lambda\in\Lambda\)について\(x\in A_\lambda\)であり，仮定からすべての\(\lambda\in\Lambda\)について\(x\in B_\lambda\)である．よって\(x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\)であり，第2の包含も成り立つ．
全体集合\(U\)を固定し，\(B\subset U\)かつ各\(A_\lambda\subset U\)とする．このとき， \[B\subset\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\] であることと，すべての\(\lambda\in\Lambda\)について\(B\subset A_\lambda\)であることは同値である．また， \[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\subset B\] であることと，すべての\(\lambda\in\Lambda\)について\(A_\lambda\subset B\)であることも同値である．
命題 8.8 の証明
\(B\subset\bigcap_{\lambda}A_\lambda\)なら，\(x\in B\)はすべての\(A_\lambda\)に属するので，各\(\lambda\)について\(B\subset A_\lambda\)である．逆にすべての\(\lambda\)で\(B\subset A_\lambda\)なら，\(x\in B\)はすべての\(A_\lambda\)に属するから\(x\in\bigcap_\lambda A_\lambda\)である．したがって最初の主張が従う．
合併についても，\(\bigcup_\lambda A_\lambda\subset B\)なら各\(A_\lambda\subset\bigcup_\lambda A_\lambda\subset B\)である．逆に各\(A_\lambda\subset B\)なら，合併の任意の要素はある\(A_\lambda\)に属するため\(B\)にも属する．