13回目：エルハート級数
形式的冪級数$F(x)$は，ある多項式$P(x)$と$Q(x)$を用いて \[ F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \] と書けるとき，（右辺の式の形を）有理関数と呼ぶ（定義域などを考える必要はない）．例えば，\[ 1+ x+ x^2+ x^3+\cdots=\frac{1}{1-x} \] であったので，$1+x+x^2+x^3+\cdots$は有理関数として書くことができる． まずはこれを拡張する．補題 13.1
$d \geq 1$に対し，数列$\left\{ \binom{d+n-1}{d-1} \right\}_{n=0}^{\infty}$の母関数は
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \binom{d+n-1}{d-1}x^n=\frac{1}{(1-x)^d}
\]
である．
証明
等式
\[
\frac{1}{(1-x)^d}= (1+ x+ x^2+ x^3+\cdots)^d
\]
の右辺を展開すると，$x^n$の係数は，方程式
$z_1+z_2+\cdots+z_d=n$
の非負整数解の個数であるから，それは
\[
\binom{d+n-1}{n}=\binom{d+n-1}{d-1}
\]
となる．
補題 13.2
$d \geq 1$に対し，数列数列$\left\{ n^d \right\}_{n=0}^{\infty}$の母関数は
\[
\sum_{n=0}^{\infty} n^d x^n=\frac{\sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^n}{(1-x)^{d+1}}
\]
である．
ここで$a_d(n-1)$は$d$の$n-1$番目のオイラー数である．
証明
$F_d(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n^d x^n$とし，$d$に関する帰納法で証明する．
$d=1$のとき，右辺を計算すると補題13.1より
\[
\frac{\sum_{n=1}^{1}a_1(n-1) x^n}{(1-x)^{2}}=\dfrac{x}{(1-x)^2}= x \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{1}x^n=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n}
\]
となるので成り立つ．
$d \geq 2$とする．このとき， \[ x \cdot F'_d(x)=x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot n^d x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{d+1} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{d+1} x^{n}=F_{d+1}(x) \] である． 一方，帰納法の仮定より \begin{align*} x \cdot F'_d(x)&=x \cdot \left( \frac{\sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^n}{(1-x)^{d+1}} \right)'\\ &=x \cdot \left( \frac{\left(\sum_{n=1}^{d}n \cdot a_d(n-1) x^{n-1} \right) (1-x)^{d+1}+(d+1)\left( \sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^n \right) (1-x)^d }{(1-x)^{2d+2}} \right)\\ &= \frac{\left(\sum_{n=1}^{d}n \cdot a_d(n-1) x^{n} \right) (1-x)+(d+1)\left( \sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^{n+1} \right) }{(1-x)^{d+2}} \end{align*} である．すると分子の$x^{n+1}$の係数（ただし，$1 \leq n \leq d-1$）は \[ (n+1) \cdot a_{d}(n) - n \cdot a_d(n-1)+(d+1) \cdot a_d(n-1)=(d+1-n)a_d(n-1)+(n+1)\cdot a_d(n) \] となる．命題11.3よりこれは$a_{d+1}(n)$と一致する． また分子の定数項は$0$，$x$の係数は$a_d(0)=1=a_{d+1}(0)$，$x^{d+1}$の係数は$a_d(d-1)=1=a_{d+1}(d)$であることが容易にわかるので，以上より\[ F_{d+1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n^{d+1} x^n=\frac{\sum_{n=1}^{d+1}a_{d+1}(n-1) x^n}{(1-x)^{d+2}} \] が成り立ち，補題の証明が完了した．
今，$f : \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{R}$を数列$\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}$を表す写像とする．つまり$f(n)=a_n$である．$f$が多項式の場合，その母関数は上記のような単純な形に変形できる．
$d \geq 2$とする．このとき， \[ x \cdot F'_d(x)=x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot n^d x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{d+1} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{d+1} x^{n}=F_{d+1}(x) \] である． 一方，帰納法の仮定より \begin{align*} x \cdot F'_d(x)&=x \cdot \left( \frac{\sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^n}{(1-x)^{d+1}} \right)'\\ &=x \cdot \left( \frac{\left(\sum_{n=1}^{d}n \cdot a_d(n-1) x^{n-1} \right) (1-x)^{d+1}+(d+1)\left( \sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^n \right) (1-x)^d }{(1-x)^{2d+2}} \right)\\ &= \frac{\left(\sum_{n=1}^{d}n \cdot a_d(n-1) x^{n} \right) (1-x)+(d+1)\left( \sum_{n=1}^{d}a_d(n-1) x^{n+1} \right) }{(1-x)^{d+2}} \end{align*} である．すると分子の$x^{n+1}$の係数（ただし，$1 \leq n \leq d-1$）は \[ (n+1) \cdot a_{d}(n) - n \cdot a_d(n-1)+(d+1) \cdot a_d(n-1)=(d+1-n)a_d(n-1)+(n+1)\cdot a_d(n) \] となる．命題11.3よりこれは$a_{d+1}(n)$と一致する． また分子の定数項は$0$，$x$の係数は$a_d(0)=1=a_{d+1}(0)$，$x^{d+1}$の係数は$a_d(d-1)=1=a_{d+1}(d)$であることが容易にわかるので，以上より\[ F_{d+1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n^{d+1} x^n=\frac{\sum_{n=1}^{d+1}a_{d+1}(n-1) x^n}{(1-x)^{d+2}} \] が成り立ち，補題の証明が完了した．
定理 13.3
写像$f : \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{R}$に対し，$f$が高々$d$次の多項式であることと，
高々$d$次の多項式$g$が存在して，
\begin{equation}
\label{generating}
\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n=\frac{g(x)}{(1-x)^{d+1}}
\end{equation}
が成り立つことは同値である．
証明
（$\Rightarrow$）$f$は高々$d$次の多項式$f(n)=a_0 + a_1 n + \cdots + a_d n^d$であるとする．
このとき，
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n=\sum_{n=0}^{\infty} (a_0 + a_1 n + \cdots + a_d n^d)x^n\\
=a_0 \sum_{n=0}^{\infty} x^n + a_1 \sum_{n=0}^{\infty} n x^n + \cdots + a_d \sum_{n=0}^{\infty} n^d x^n
\end{align*}
である．$\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n=\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{(1-x)^d}{(1-x)^{d+1}}$であり，補題13.2から$\sum_{n=0}^{\infty} n^k x^n$（ただし$1 \leq k \leq d$）は有理関数であり，分母を$(1-x)^{d+1}$にすると，分子は高々$d$次の多項式である．よって(6)を満たす高々$d$次の多項式$g$が存在する．
（$\Leftarrow$）高々$d$次の多項式$g(x)=b_0+b_1 x + \cdots + b_n x^n$が存在して，等式(6)が成り立つと仮定する．補題13.1から \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n=\frac{g(x)}{(1-x)^{d+1}}=\left( \sum_{n=0}^{\infty} \binom{d+n}{d}x^n \right) \cdot g(x) \end{align*} となる．両辺の係数を比較すると， \begin{align*} f(n)=\sum_{i=0}^{d} b_i \binom{d+n-i}{d} \end{align*} となり，$f(n)$は高々$d$次の$n$に関する多項式である．
（$\Leftarrow$）高々$d$次の多項式$g(x)=b_0+b_1 x + \cdots + b_n x^n$が存在して，等式(6)が成り立つと仮定する．補題13.1から \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n=\frac{g(x)}{(1-x)^{d+1}}=\left( \sum_{n=0}^{\infty} \binom{d+n}{d}x^n \right) \cdot g(x) \end{align*} となる．両辺の係数を比較すると， \begin{align*} f(n)=\sum_{i=0}^{d} b_i \binom{d+n-i}{d} \end{align*} となり，$f(n)$は高々$d$次の$n$に関する多項式である．
別証明 (要：実線型空間の知識)
$V$を$\mathbb{Z}_{\geq 0}$から$\mathbb{R}$への写像全体の集合とする．このとき，写像上の通常の演算により$V$は線型空間となる．
また$V_1$を高々$d$次の多項式として表される$\mathbb{Z}_{\geq 0}$から$\mathbb{R}$への写像全体の集合とすると，これは$V$の部分空間となり，特に，次元は$d+1$である．
次に$V_2$を$\mathbb{Z}_{\geq 0}$から$\mathbb{R}$への写像$f$で，高々$d$次の多項式$g$が存在して，等式(6)が成り立つもの全体の集合とする．これもまた$V$の部分空間で，次元は$d+1$である．
$V_1=V_2$が成り立てば命題の主張は示せる．
$V_1$と$V_2$の次元が同じなので，$V_1 \subset V_2$または$V_2 \subset V_1$が分かれば，$V_1= V_2$が従う．よって元の証明の$\Leftarrow$または$\Rightarrow$のどちらかの主張だけで定理の証明が完成する．
$d$次元格子凸多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$に対し，エルハート多項式から得られる数列$\{L_{\mathcal{P}}(n)\}_{n=0}^{\infty}$の母関数
\[
{\rm Ehr}_\mathcal{P}(x):=\sum_{n=0}^{\infty} L_{\mathcal{P}}(n) x^n
\]
を$\mathcal{P}$のエルハート級数という．エルハート多項式は$d$次の多項式であったので，定理13.3から高々$d$次の多項式$h^*(x)=h^*_0+h^*_1 x + \cdots + h^*_d x^d$が存在して，
\[{\rm Ehr}_{\mathcal{P}}(x)=\frac{h^*(x)}{(1-x)^{d+1}}\]
と変形できる．この多項式$h^*(x)$のことを$\mathcal{P}$の$h^*$多項式といい，その係数の列$h^*(\mathcal{P})=(h^*_0,h^*_1,\ldots,h^*_d)$を$h^*$列という．特に，$h^*_i$は整数であることに注意する．
定理の証明により，エルハート多項式は
\[
L_{\mathcal{P}}(n)=\sum_{i=0}^{d} h^*_i \binom{d+n-i}{d}
\]
として$h^*$列から計算できる．
また，$h^*_i$は常に非負（スタンレーの非負性定理）であり，次の性質が成り立つ．
- $h^*_0=1$，
- $h^*_1=|\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d|-(d+1)$，
- $h^*_d=|{\rm int}(\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^d|$，
- $h^*(1)=h^*_0+\cdots+h^*_d$は$\mathcal{P}$の正規化体積と一致する．ここで，正規化体積とは$\mathcal{P}$の体積の$d!$倍である．特に正規化体積は常に整数となることに注意する．
例 13.4
例8.1の四面体$\mathcal{P}_m \subset \mathbb{R}^3$を考えると，
この$h^*$列の研究が格子凸多面体論の主流の一つである．
例えば，
- $h^*_1=|\mathcal{P}_m \cap \mathbb{Z}^3|-(d+1)=4-4=0$，
- $h^*_3=|{\rm int}(\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^3|=0$，
- $h^*(1)=h^*_0+h^*_1+h^*_2+h^*_3=m$
- $h^*$列はいつ単峰，対数凹，実根となるか．
- どのような数列が格子凸多面体の$h^*$列として実現できるか．
- $h^*$列やエルハート多項式は他の数え上げ数学と関係あるか．