7.3：共役作用
ここでは特別な作用を考える．補題 7.3.1
$G$を群とする．このとき，写像
\[
\bullet_G : G \times G \to G, \quad (g,x) \mapsto g \bullet_G x:=gxg^{-1}
\]
は$G$の$G$自身への作用となる．
証明
(i) 任意の$x \in G$に対し，
\[
e \bullet_G x= e x e^{-1}=x
\]
である．
(ii) 任意の$g,h \in G$と$x \in G$に対し， \[ g \bullet_G (h \bullet_G x)=g \bullet_G (hxh^{-1})=g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(h^{-1}g^{-1})=(gh)x(gh)^{-1}=(gh) \bullet_G x \] である．
以上より，$\bullet_G$は$G$の$G$自身への作用である．
(ii) 任意の$g,h \in G$と$x \in G$に対し， \[ g \bullet_G (h \bullet_G x)=g \bullet_G (hxh^{-1})=g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(h^{-1}g^{-1})=(gh)x(gh)^{-1}=(gh) \bullet_G x \] である．
以上より，$\bullet_G$は$G$の$G$自身への作用である．
定義 7.3.2
$G$を群とする．
共役類がどのような集合になるか，具体例を見てみよう．
作用$\bullet_G$を$G$の共役作用という．また$\bullet_G$による$x \in G$の軌道を \[ C(x):=\{gxg^{-1} : g \in G\} \] と書き，$x$の共役類という．$G$の共役類全体の集合を${\rm Conj}(G)$と書く． つまり， \[ {\rm Conj}(G)=\{ C(x) : x \in G\} \] である．
$x,y \in G$に対して，ある$g \in G$が存在して$y=gxg^{-1}$となるとき，$x$と$y$は共役であるという．同値類の性質から，これは$C(x)=C(y)$と同値である．
例 7.3.3
対称群 $\mathfrak{S}_3$ を考える．まず単位元 $1_3$ については，
任意の $g\in\mathfrak{S}_3$ に対して $g\circ 1_3\circ g^{-1}=1_3$ であるから
\[
C(1_3)=\{1_3\}
\]
である．
次に互換の共役類を調べる．
$\tau=(1\,2)$ とし，任意の $g\in\mathfrak{S}_3$ をとる．
ここで，$g\circ \tau \circ g^{-1}$ がどの元を入れ替えるかを考える．
任意の $x\in\{1,2,3\}$ に対し
\[
(g\circ \tau \circ g^{-1})(g(x))=(g\circ \tau)(g^{-1}(g(x)))=g(\tau(x))
\]
が成り立つので，
\[
(g\circ \tau \circ g^{-1})(g(1))=g(2),\qquad (g\circ \tau \circ g^{-1})(g(2))=g(1)
\]
となる．また $x\neq 1,2$ なら $\tau(x)=x$ なので
\[
(g\circ \tau \circ g^{-1})(g(x))=g(x)
\]
である．
したがって $g\circ \tau \circ g^{-1}$ は $g(1)$ と $g(2)$ を入れ替え，他を固定する互換である．
よって，共役類 $C((1\,2))$ は全ての互換からなり
\[
C((1\,2))=\{(1\,2),(1\,3),(2\,3)\}
\]
である．
最後に，互換でない元を一つとり
\[
\sigma=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&1
\end{pmatrix}
\]
とおく．例えば $g=(1\,2)$ とすると
\[
g\circ \sigma \circ g^{-1}
=
(1\,2)\circ
\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}
\circ(1\,2)
=
\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}
\]
となり，$\sigma$ は
\[
\sigma'=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
3&1&2
\end{pmatrix}
\]
と共役である．一方，$\sigma$ は互換ではないので，
$\sigma$ の共役類は互換の共役類とは交わらない．
以上より
\[
C(\sigma)=\left\{
\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}
\right\}
\]
である．
結局，$\mathfrak{S}_3$ の共役類は
\[
\{1_3\},\qquad
\{(1\,2),(1\,3),(2\,3)\},\qquad
\left\{
\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}
\right\}
\]
の3つである．次の節で対称群の共役類について詳しく見る．
このように，共役類は群をいくつかの部分集合に分割する．
では，各共役類の大きさはどのように決まるのであろうか．
これを調べるために，中心化群という部分群を導入する．
定義 7.3.4
$G$を群，$x\in G$とする．
\[
Z_G(x):=\{g\in G :gx=xg\}
\]
を $x$ の 中心化群という．
また
\[
Z(G):=\{z\in G: zg=gz\ \ (\forall g\in G)\}
\]
を $G$ の 中心という．
命題 7.3.5
中心化群は$G$の部分群であり，中心は$G$の正規部分群である．また，
共役作用に関して，任意の$x\in G$に対して，
$Z_G(x)=G_x$が成り立つ．特に，
\[
|C(x)|=(G:Z_G(x))=\frac{|G|}{|Z_G(x)|}
\]
が成り立つ．
特に，$|C(x)|$ は $|G|$ の約数である．
さらに，$Z(G)=G^G$が成り立つ．
証明
部分群に関する主張は演習問題とする．
$g\bullet_G x=x$ は $gxg^{-1}=x$ と同値であり，これは $gx=xg$ と同値である．
よって $G_x=Z_G(x)$である．すると命題7.2.2(2)より
\[
|C(x)|=|G\bullet_G x|=(G:G_x)=(G:Z_G(x))=\frac{|G|}{|Z_G(x)|}
\]
が従う．さらに$Z(G)=G^G$も成り立つ．
したがって，以下の等式が成り立つ．
定理 7.3.6
有限群 $G$ に対し，
\[
|G|=\sum_{C \in {\rm Conj}(G)} |C|=|Z(G)|+\sum_{C \in {\rm Conj}(G), |C|>1} |C|
\]
が成り立つ．この等式を$G$ の類等式という．