1.1：群の復習
まず半群，モノイド，群，アーベル群の定義を復習しよう．定義 1.1.1
$G$を空ではない集合，$\circ$を$G$上の演算とする．次の4つの性質を考える：
例えば，$(\mathbb{N},+)$は半群であるがモノイドではない．$(\mathbb{Z}_{\geq 0},+)$はモノイドであるが群ではない．$(\mathbb{Z},+)$は（アーベル）群である．
この3つの違いはなんであろうか．はじめに説明した通り，（アーベル）群は「足し算」と「引き算」ができる集合である．$\mathbb{N}$や$\mathbb{Z}_{\geq 0}$では$3-4=-1$のように，引き算をすると集合からはみ出る可能性がある．この意味で，$\mathbb{N}$や$\mathbb{Z}_{\geq 0}$では引き算ができない．しかし，$\mathbb{Z}$ではこの問題が解消される．これが$\mathbb{Z}$だけが群になる理由である．群の定義に戻ると「引き算ができる」というのは条件(G3)に他ならない．
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（結合律）任意の$a,b,c$に対し，$(a\circ b) \circ c =a\circ(b\circ c)$が成り立つ．
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（単位元の存在）ある元$e \in G$が存在して，任意の$a \in G$に対して$a \circ e = e \circ a=a$を満たすものが存在する．このとき$e$を$G$の$\circ$に関する単位元という．
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（逆元の存在） 任意の$a \in G$に対して，$a \circ h=h \circ a = e$を満たす$h \in G$が存在する．このとき，$h$を$a$の$\circ$に関する逆元という．また$a$の逆元を$a^{-1}$と書く．
（交換律）任意の$a,b \in G$に対し$a \circ b= b \circ a$が成り立つ．
- $(G,\circ)$が半群 (semigroup)であるとは(G1)を満たすときをいう．
- $(G,\circ)$がモノイド (monoid)であるとは(G1)と(G2)を満たすときをいう．
- $(G,\circ)$が群 (group)であるとは(G1)と(G2)と(G3)を満たすときをいう．
- $(G,\circ)$がアーベル群 (abelian group)または加法群 (additive group)であるとは(G1)と(G2)と(G3)と(G4)を満たすときをいう．
補足 1.1.2
(1) 群の演算は基本的に「積」または「乗法」と呼ぶ．また$a \circ b$を単に$ab$と書くこともある．さらに$n \in \mathbb{Z}$に対し
\[a^n=\begin{cases}\underbrace{a \circ a \circ \cdots \circ a}_{n個} & (n > 0)\\
e & (n=0)\\
\underbrace{a^{-1} \circ a^{-1} \circ \cdots \circ a^{-1}}_{-n個}
& (n \lt 0)
\end{cases}\]と表記する．このとき，任意の整数$n,m$に対し
\begin{align*}
a^{n} \circ a^{m}=a^{n+m}\\
a^{nm}=(a^n)^m
\end{align*}
が成り立つことは簡単に証明できる．
ただし，
\[
(a\circ b)^n = a^n \circ b^n
\]
は一般に成り立たないことに注意する（$a\circ b=b \circ a$とは限らないから）．
(2) $(G,\circ)$がアーベル群のとき，演算の記号は$+$を使うことが多い．この場合，演算は「和」または「加法」と呼ぶ．また単位元は$0$と表し，$a \in G$に対する逆元は$-a$と表記する．さらに，演算「$-$」を
\[a-b:=a+(-b)\]
と定義することで，「引き算」が定義できる．引き算は(G3)が成り立てば定義できるが，「引き算」というときは基本アーベル群，つまり(G4)まで仮定する．
(3) 「引き算」を定義することのメリットは方程式の移項ができることである．つまり，$(G,+)$がアーベル群であるとき，任意の$a,b,c \in G$に対し，$a+c=b$ならば$a=b-c$が成り立つ．
単位元に関する重要な性質を復習する．
命題 1.1.3
- $(G,\circ)$を単位元が$e$であるモノイドとする．$a,b \in G$が$a \circ b =a$ (または $b \circ a =b$)を満たすとする．このとき，$b=e$ (または $a=e$)である．特に，$G$の単位元は一意である．
- $(G,\circ)$を群とする．$a,b \in G$が$a \circ b=e $を満たすとする．このとき，$b=a^{-1}$かつ$a=b^{-1}$である．特に，任意の$a \in G$に対し，逆元は一意的である．
証明
(1) $a \circ b =a$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると，
\[
b=e \circ b=a^{-1} \circ a \circ b= a^{-1} \circ a=e
\]
である．$b \circ a =b$の場合は右から$b^{-1}$を掛けると$a=e$が従う．
(2) $a \circ b =e$の両辺の左から$a^{-1}$を掛けると$b=a^{-1}$が従い，右から$b^{-1}$を掛けると$a=b^{-1}$が従う．