1.2：環の定義
アーベル群は「足し算」と「引き算」ができる集合であった．さらに「掛け算」ができる集合が環である． それでは環の正確な定義を紹介する．定義 1.2.1
$R$を空でない集合，$+_R$と$\cdot_R$を$R$上の演算とする．
このとき，$(R,+_R, \cdot_R)$が環 (ring)であるとは，以下の条件を満たすときにいう：
例えば，$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$は環である．これを整数環という．一方，$(\mathbb{N}, + , \cdot)$や$(\mathbb{Z}_{\geq 0},+,\cdot)$は環ではない．
- $(R,+_R)$はアーベル群である．
- $(R,\cdot_R)$はモノイドである．
-
（分配律）任意の$a,b,c \in R$に対し， \begin{align*} a \cdot_R (b+_Rc)=(a \cdot_R b) +_R (a \cdot_R c)\\ (a+_R b) \cdot_R c=(a \cdot_R c) +_R (b \cdot_R c) \end{align*} が成り立つ．
補足 1.2.2
環$(R,+,\cdot)$に対し，$+$と$\cdot$はそれぞれ$R$の加法と乗法という．命題 1.1.3からそれぞれの演算に関する単位元が一意的に存在する．
このとき，加法$+$に関する単位元を$0_R$と表記し，これを$R$の零元という．
また乗法$\cdot$に関する単位元を$1_R$と表記し，これを$R$の単位元という．
考えている環が文脈から明らかなときは単に$0$や$1$と表記する．
それではもう少し環の例を見ていく．
例 1.2.3
$R=\{a\}$とする．このとき，加法$+$と乗法$\cdot$は
\begin{align*}
a + a =a\\
a \cdot a =a
\end{align*}
と一意的に決まる．すると$(R,+)$と$(R,\cdot)$はともに（自明な）アーベル群である．つまり(R1)と(R2)を満たす．
さらに，
\begin{align*}
a\cdot(a+a)=a \cdot a =a = a+a=(a\cdot a)+(a\cdot a)\\
(a+a)\cdot a=a \cdot a =a = a+a=(a\cdot a)+(a\cdot a)
\end{align*}
であるので(R3)が満たされる．よって，$(R,+,\cdot)$は環である．
この環を零環といい，しばしば$0$と略記する．以降，環$R \neq 0$と表記すると$R$は零環ではない環を意味する．
例 1.2.4
$x$を変数とする整数係数の（1変数）多項式全体の集合を$\mathbb{Z}[x]$とする．つまり，
\[
\mathbb{Z}[x]=\left\{ \sum_{i=0}^da_i x^i : d \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, a_0,\ldots,a_d \in \mathbb{Z}\right\}
\]
である．このとき，通常の多項式の和と積により$\mathbb{Z}[x]$は環となる．ここで零元は零多項式，単位元は$1$である．これを$\mathbb{Z}$上の（1変数）多項式環という．$\mathbb{Z}[x]$は$\mathbb{Z}$に並んで重要な環の1つである．同様に，$x_1,\ldots,x_n$を変数とする整数係数の$n$変数多項式全体の集合を$\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$とすると，これも通常の多項式の和と積により環となる．これを$\mathbb{Z}$上の$n$変数多項式環という．実は$\mathbb{Z}$だけでなく，一般の可換環$R$に対して多項式環を定義することができる．これは後の節で詳しく見る．
例 1.2.5
$R=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$とし，$R$に加法$+_R$と乗法$\cdot_R$を
\begin{align*}
(a,b) +_R (c,d)=(a+c,b+d)\\
(a,b) \cdot_R (c,d)=(a \cdot c, a\cdot d+b\cdot c)
\end{align*}
で定義する．ただし，$+$や$\cdot$は$\mathbb{R}$の通常の加法と乗法である．
$(R,+_R)$が$(0,0)$を単位元とするアーベル群となることは容易にわかる．つまり，(R1)を満たす．次に$(R,\cdot_R)$を考える．これが結合律を満たすことの確認は演習問題とする．任意の$(a,b) \in R$に対し，
\begin{align*}
(a,b) \cdot_R (1,0)=(a\cdot 1 , a \cdot 0 + b \cdot 1)=(a,b)\\
(1,0) \cdot_R (a,b)=(1\cdot a , 1 \cdot b + 0 \cdot a)=(a,b)
\end{align*}
であるので，$(R,\cdot_R)$は$(1,0)$を単位元とするモノイドである．
最後に分配律を確認する．任意の$(a,b),(c,d),(e,f) \in R$に対し，
\begin{align*}
(a,b) \cdot_R ((c,d)+_R (e,f))&=(a,b) \cdot_R(c+e,d+f)=(a(c+e),a(d+f)+b(c+e))\\
&=(ac+ae,(ad+bc)+(af+be))=(ac,ad+bc)+_R(ae,af+be)\\&=((a,b)\cdot_R(c,d))+_R ((a,b)\cdot_R(e,f))
\end{align*}
である．
同様に，
\[
((a,b)+_R(c,d)) \cdot_R (e,f)=((a,b)\cdot_R(e,f))+_R((c,d)\cdot_R (e,f))
\]
も示せるので，(R4)を満たす．以上から，$(R,+_R,\cdot_R)$は零元が$(0,0)$，単位元が$(1,0)$となる環である．
環の定義では加法に関しては可換性を仮定していたが，乗法に関しては仮定していない．実際，乗法の可換性を満たさない環がある．
定義 1.2.6
$R$を環とする．$R$が可換環 (commutative ring) であるとは，条件
例えば，$\mathbb{Z}$や$\mathbb{Z}[x]$は可換環である．非可換環の例を見る．
(R4)（交換律）任意の$a,b \in R$に対し，$ab=ba$が成り立つ
を満たすときにいう．可換環ではない環を非可換環 (noncommutative ring)という．
例 1.2.7
整数を要素とする$2$次正方行列全体の集合を$M_2(\mathbb{Z})$とする．つまり，
\[
M_2(\mathbb{Z})=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
: a,b,c,d \in \mathbb{Z} \right\}
\]
である．このとき，通常の行列の和と積により$M_2(\mathbb{Z})$は環となる．ここで零元と単位元はそれぞれ
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
である．これを$\mathbb{Z}$上の階数$2$の行列環という．このとき，
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
より(R4)は満たされない．よって$M_2(\mathbb{Z})$は非可換環である．同様に，整数を要素とする$n$次正方行列全体からなる集合$M_n(\mathbb{Z})$も通常の行列の和と積により環となるが，$n \geq 2$であれば非可換環となる．より一般に環$R$の元を要素とする階数$n$の行列環$M_n(R)$が定義できる．このとき，$M_n(R)$が可換環となることと$n=1$かつ$R$が可換環となることは同値である．
群の直積は自然な演算により再び群になった．環の直積も同様に自然な演算により環になる．
$R$と$S$を環とする．今，直積$R \times S$上の演算$+$と$\cdot$を以下で定義する．
\begin{align*}
&+:(R \times S) \times (R \times S) \to R \times S; ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \mapsto (a_1+_R a_2,b_1+_S b_2),\\
& \cdot:(R \times S) \times (R \times S) \to R \times S; ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \mapsto (a_1\cdot_R a_2,b_1 \cdot_S b_2).
\end{align*}
命題 1.2.8
$(R \times S, +,\cdot)$は加法の単位元を$(0_R,0_S)$，乗法の単位元を$(1_R,1_S)$とする環である．
証明
群の直積と同様に各演算が成分ごとに定義されているため従う．