1：環の定義
このテキストでは，自然数は$1$以上の整数とする（すなわち，$0$は含まない）．また$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Z}_{\geq 0}, \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$をそれぞれ自然数全体，整数全体，非負整数全体，有理数全体，実数全体，複素数全体の集合とする．
集合とその集合上に定義された演算との組を代数系と呼ぶ．情報数理Cでは（アーベル）群と呼ばれる代数系を学習した．簡単に言えば，（アーベル）群は「足し算と引き算ができる集合」のことである．ただし，引き算は「逆元の加法」として定義されるため，群の基本的な演算は実質的には加法の1つのみである．
本講義では，この加法に加えて掛け算を備えた集合，すなわち「足し算と引き算と掛け算」ができる集合である
環を考える．