1.3：環の性質
整数環の性質を思い出す．任意の整数$a$に対し，\[a \cdot 0=0 \cdot a =0\] が成り立つ．つまり，零元との積は常に零元になるという性質である．これは一般の環の場合も成り立つ．命題 1.3.1
$R$を環とする．このとき，任意の$a \in R$に対し，
\[
a \cdot 0=0 \cdot a = 0
\]
である．
証明
零元の性質と分配律より
\[
a \cdot 0=a\cdot (0 + 0)=(a \cdot 0) + (a \cdot 0)
\]
が成り立つ．両辺に加法に関する逆元$-(a \cdot 0)$を加えることで，$a \cdot 0=0$が得られる．同様に，$0 \cdot a=0$も示せる．
次に符号の積を考える．整数環では「マイナス」×「マイナス」=「プラス」，「マイナス」×「プラス」=「マイナス」のような符号の計算が可能だった．一般の環でも同様の計算ができる．
命題 1.3.2
$R$を環とする．任意の$a,b \in R$に対し，
- $(-a) \cdot b = a \cdot (-b)=-(a \cdot b)$
- $(-a ) \cdot (-b)=a\cdot b$
証明
(1) まず$(-a) \cdot b=-(a \cdot b)$を示す．この式を日本語で説明すると「$(-a) \cdot b$は$a \cdot b$の加法に関する逆元である」ということである．さらに言い直すと「$(-a) \cdot b$と$a \cdot b$の和は$0$である」ということになる．これは
\[
((-a) \cdot b)+(a \cdot b) =((-a)+a) \cdot b=0 \cdot b=0
\]
より成り立つ．$a \cdot (-b)=-(a \cdot b)$も同様に示せる．
(2) (1) の結果を用いて次のように示せる：
\begin{align*}
a \cdot b
&= a \cdot b + 0\\
&= a \cdot b + (-a) \cdot 0 \\
&= a \cdot b + (-a) \cdot (b + (-b))\\
&= a \cdot b + (-a \cdot b + (-a) \cdot (-b))\\
&= (a \cdot b - a \cdot b) + (-a) \cdot (-b) \\
&= 0 + (-a) \cdot (-b) = (-a) \cdot (-b)
\end{align*}
最後に零環の特徴を紹介する．
$R$が零環のとき，零元と単位元は一致する．つまり，$0=1$となっている．実は$0=1$となるのは零環の場合に限る．
命題 1.3.3
$R$を環とする．このとき，$R$が零環であることと，$0=1$であることは同値である．
証明
$\Rightarrow$は明らかなので，$\Leftarrow$を示す．任意の元$a \in R$をとる．$0=1$の両辺の左から$a$をかけると
\[
0= a\cdot 0 = a \cdot 1 =a
\]
が成り立つ．これより$R=\{0\}$となる．よって$R$は零環である．