1.4：部分環
群論において，ある群の部分構造として「部分群」を学んだ．環においても，同様に「部分環」を定義する． $(R,+,\cdot)$を環とする．$R$の空でない部分集合 $S$ に対して，写像 \[ {+|_S}: S \times S \to R,\quad (a,b) \mapsto a + b,\quad {\cdot|_S}: S \times S \to R,\quad (a,b) \mapsto a \cdot b \] を定義する．つまり，$R$の演算を$S$上に制限して考える． このとき，$a+b$や$a \cdot b$が$S$に含まれない可能性があるので，${+|_S},{\cdot|_S}$が$S$上の演算とは限らない． もし${+|_S}$と${\cdot|_S}$が$S$上の演算になる，つまり${+|_S}: S \times S \to S$と${\cdot|_S}: S \times S \to S$として定義でき，$(S,{+|_S},{\cdot|_S})$が環となり，かつ$1_R \in S$のとき，$S$を$R$の部分環（subring）という．自分自身はいつでも部分環である． まず，部分環$S$の零元や単位元，逆元が$R$から引き継がれることを見る．補題 1.4.1
$R$を環とし，$0 \neq S$を$R$の部分環とする．このとき，
-
$0_S=0_R$，特に$0_R \in S$である，
-
任意の $a \in S$に対し，$a$の$R$での加法に関する逆元$-a$は$-a \in S$を満たし，これは$a$の$S$での加法に関する逆元でもある．
$1_S=1_R$である．
証明
(1)
$R$において
\[
0_R + 0_S=0_S
\]
が成り立つ．$0_S$の$R$における加法の逆元を$x$とすると
\[
0_S=0_R+0_S=(x+0_S)+0_S=x+(0_S+0_S)=x+(0_S+_{S} 0_S)=x+0_S=0_R
\]
となる．特に，$0_R \in S$である．
(2) $a$の$S$の中での逆元を$a'$とする．このとき，(1)から \[ 0_R=a {+|_S} a'=a+a' \] である．すると$R$における逆元の一意性より$-a=a'$ となる．
(3) $S$の中で，$1_S$も$1_R$も単位元の条件を満たすので，単位元の一意性から$1_S=1_R$である．
この補題を使うことで以下の命題が示せる．
この命題を部分環の定義と思ってもよい．
(2) $a$の$S$の中での逆元を$a'$とする．このとき，(1)から \[ 0_R=a {+|_S} a'=a+a' \] である．すると$R$における逆元の一意性より$-a=a'$ となる．
(3) $S$の中で，$1_S$も$1_R$も単位元の条件を満たすので，単位元の一意性から$1_S=1_R$である．
命題 1.4.2
$(R,+,\cdot)$を環とする．部分集合 $\emptyset \neq S \subset R$ が $R$ の部分環である必要十分条件は，次の条件をすべて満たすことである：
任意の $a,b \in S$ に対して $a +(- b) \in S$（加法について閉じており，逆元も含む）．
任意の $a,b \in S$ に対して $a \cdot b \in S$（乗法について閉じている）．
$1_R \in S$（単位元を含む）．
証明
（$\Rightarrow$）$(S,{+|_S}, \cdot_S)$を$R$の部分環とする．
このとき，
${+|_S}$は$S$上の演算であり，補題 1.4.1の(2)から$-b \in S$かつ$a+(-b) \in S$である．よって(S1)が満たされる．また${\cdot|_S}$は$S$上の演算なので，(S2)が満たされる．さらに，(S3)は部分環の定義から従う．
（$\Leftarrow$）(S1)，(S2)，(S3)を満たすとする． ${+|_S}$の結合律や可換律，${\cdot|_S}$の結合律，そして分配律は元を制限しているだけなので$+$と$\cdot$から自動で成り立つ． (S1) より，任意の$a \in S$に対し，$a + (-a)=0_R \in S$が成り立ち，さらに$0_R+(-a)=-a \in S$となる．よって，任意の$a,b \in S$に対し$a{+|_S} b \in S$であり，$+|_S$は$S$上の演算として定義でき，特に$(S, +_S)$はアーベル群となる． (S2) より，${\cdot|_S}$は$S$上の演算として定義でき，(S3) より $1_R \in S$なので，$(S,{\cdot|_S})$はモノイドである．
以上より，$(S,{+|_S},{\cdot|_S})$は環かつ$1_R \in S$となるので$S$は$R$の部分環である．
以降，$S$が環$(R,+,\cdot)$の部分環のとき，$S$上の演算${+|_S}$と${\cdot|_S}$を単に$+$と$\cdot$で書く．
（$\Leftarrow$）(S1)，(S2)，(S3)を満たすとする． ${+|_S}$の結合律や可換律，${\cdot|_S}$の結合律，そして分配律は元を制限しているだけなので$+$と$\cdot$から自動で成り立つ． (S1) より，任意の$a \in S$に対し，$a + (-a)=0_R \in S$が成り立ち，さらに$0_R+(-a)=-a \in S$となる．よって，任意の$a,b \in S$に対し$a{+|_S} b \in S$であり，$+|_S$は$S$上の演算として定義でき，特に$(S, +_S)$はアーベル群となる． (S2) より，${\cdot|_S}$は$S$上の演算として定義でき，(S3) より $1_R \in S$なので，$(S,{\cdot|_S})$はモノイドである．
以上より，$(S,{+|_S},{\cdot|_S})$は環かつ$1_R \in S$となるので$S$は$R$の部分環である．
例 1.4.3
$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$は明らかに$\mathbb{C}$の部分環である．
より一般に，
\[
\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}
\]
はそれぞれ包含関係に対して部分環となる．
例 1.4.4
偶数全体の集合を$E=\{2 x : x \in \mathbb{Z}\}$と書くと，これは部分環ではない．実際，(S1)と(S2)は成り立つが，$1 \notin E$なので(S3)を満たさない．
さらに，奇数全体の集合を$O=\{2x+1 : x\in \mathbb{Z}\}$と書くと，これも部分環ではない．実際，(S2)と(S3)は成り立つが，$1+(-1) =0 \notin O$なので(S1)を満たさない．
実は$\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$以外に部分環を持たない．実際，$S$を$\mathbb{Z}$の部分環とすると，(S3)より$1 \in S$であり，(S1)を繰り返し使うと$S=\mathbb{Z}$がわかる．
さらに，奇数全体の集合を$O=\{2x+1 : x\in \mathbb{Z}\}$と書くと，これも部分環ではない．実際，(S2)と(S3)は成り立つが，$1+(-1) =0 \notin O$なので(S1)を満たさない．
実は$\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$以外に部分環を持たない．実際，$S$を$\mathbb{Z}$の部分環とすると，(S3)より$1 \in S$であり，(S1)を繰り返し使うと$S=\mathbb{Z}$がわかる．
例 1.4.5
$\mathbb{C}$の部分集合$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$を
\[\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]=\{ a+b\sqrt{-1} : a,b \in \mathbb{Z}\}
\]
で定義する．このとき，$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$は$\mathbb{C}$の部分環である．実際，任意の$a+b\sqrt{-1},c+d\sqrt{-1} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] ( a,b,c,d \in \mathbb{Z})$に対し，
\begin{align*}
(a+b\sqrt{-1})+(-(c+d\sqrt{-1}))=(a-c)+(b-d)\sqrt{-1}\\
(a+b\sqrt{-1}) \cdot (c+d\sqrt{-1})=(ac-bd)+(ad+bc)\sqrt{-1}
\end{align*}
であり，$a-b,b-d,ac-bd,ad+bc \in \mathbb{Z}$となるので，(S1)と(S2)が満たされる．また$1=1+0\sqrt{-1} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$なので(S3)も満たされる．よって$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$は$\mathbb{C}$の部分環である．この環$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$をガウス整数環と呼び，その元$a+b\sqrt{-1}, a,b \in \mathbb{Z}$をガウス整数という．これは整数の概念を複素数で拡張したものである．