1.5：整域と体
次に環の中でもより良い構造を持つ環を定義する． 整数環$\mathbb{Z}$の場合，$ab =0$ならいつでも$a=0$または$b=0$が成り立つ．しかし，一般の環ではこの性質が成り立たない場合がある．つまり，$ab=0$であるが，$a=0$でも$b=0$でもないことが起こり得るのである．定義 1.5.1
$R \neq 0$を可換環とする．元$a \neq 0$が零因子 (zero divisor)であるとは，$ax=0$を満たす元$x \in R \setminus \{0\}$が存在するときにいう．
例 1.5.2
例 1.2.5で定義した環
$R=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$を考える．ここで$R$の演算は
\begin{align*}
(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d)\\
(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, a\cdot d+b\cdot c)
\end{align*}
で定義される．この環の零元は$(0,0)$である．
このとき，
\[
(0,1) \cdot (0,1) = (0 \cdot 0, 0 \cdot 1 +_R 1 \cdot 0)=(0,0)
\]
が成り立つので，$(0,1)$は$R$の零因子であることがわかる．
零因子を持たない環は良い性質を持つことがあるので，そのような環に名前を付けよう．
定義 1.5.3
可換環$R \neq 0$が整域 (integral domain)であるとは，零因子を持たない，つまり任意の$a,b \in R$に対し，$ab=0$ならば$a=0$または$b=0$が成り立つときにいう．対偶を考えると，$a \neq 0$かつ$b \neq 0$ならばいつでも$ab \neq 0$となることと同値である．
整数環は整域である．
一方，先ほどの例 1.5.2の$R$は零因子を持ったので，整域ではない．
整域の例をもう1つ見る．
例 1.5.4
ガウス整数環$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$は整域である．実際，$x=a+b\sqrt{-1},y=c+d\sqrt{-1} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$に対し，$xy=0$が成り立つとする．ただし，$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$である．$x=0$または$y=0$を示す．そのために，$x \neq 0$としてよい．
\[
xy=(ac-bd)+(ad+bc)\sqrt{-1}
\]
なので，$ac-bd=0$かつ$ad+bc=0$が成り立つ．
1つ目の式の両辺に$a$をかけて，$ad=-bc$を代入すると
\[
a(ac-bd)=a^2c-abd=a^2c + b^2c=c(a^2+b^2)=0
\]
となる．
ここで$x \neq 0$より$a^2+b^2 \neq 0$が成り立つので$c=0$が従う．すると$bd=ad=0$が成り立つ．$d \neq 0$ならば$a=b=0$となり，これは$x \neq 0$に矛盾する．よって$d=0$である．以上より，$y =0$が従うので，$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$は整域である．
整域に関する重要な性質を一つ証明する．
命題 1.5.5 (簡約律)
$R$を整域とし$a,b \in R$と$c \in R \setminus\{0\}$をとる．このとき，$ac=bc$ならば$a=b$が成り立つ．
証明
$ac=bc$から移項と分配則により$(a-b)c=0$が成り立つ．
すると$R$が整域なので$a-b=0$または$c=0$が成り立つ．しかし，$c \neq 0$なので，$a-b=0$，つまり$a=b$が従う．
この命題の性質（簡約律）は「割り算」ができれば直ちに成り立つが，一般に整域では「割り算」を定義することができない．例えば，整数環において，$4 \div 3\notin \mathbb{Z}$である．ここから「割り算」の定義について考える．「引き算」の定義を思い出すと，これは加法に関する逆元を足すことで定義されていた．同様に，「割り算」は乗法に関する逆元を掛けることで定義されると考えられるが，環の定義では，乗法に関する逆元の存在を保証していない．実際，零元は乗法に関する逆元を必ず持たない．これは環$R \neq 0$と任意の$a \in R$に対して，
\[
0 \cdot a = a\cdot 0 =0 \neq 1
\]
が成り立つからである．そこで「割り算」を定義する際は零元を除いて考える．
定義 1.5.6
$R \neq 0$を可換環とする．
-
$a \in R$に対し，$ab=1$を満たす$b \in R$が存在するとき，$a$を$R$の単元 (unit)または可逆元 (invertible element)という．このとき，$b$を$a$の乗法に関する逆元といい，$a^{-1}$と書く．さらに$R$の単元全体の集合を$R^{\times}$で表す．
-
$0$以外の全ての元が単元，つまり$R^{\times}=R\setminus\{0\}$となる環を体 (field)という．
補足 1.5.7
$R$が体であるとき，$a \in R$と$b \in R \setminus \{0\}$に対し，
\[
a \div b:=a \cdot b^{-1}
\]
と書くことで，割り算は定義される．つまり，体とは「足し算・引き算・掛け算・割り算」の四則演算が定義される集合ということになる．
有理数全体の集合$\mathbb{Q}$，実数全体の集合$\mathbb{R}$，複素数の集合$\mathbb{C}$は通常の加法と乗法に関して体となる．これらはそれぞれ有理数体，実数体，複素数体と呼ばれる．
例 1.5.8
整数環$\mathbb{Z}$を考える．このとき，$\mathbb{Z}^{\times}=\{\pm 1\}$であるので，$\mathbb{Z}^{\times} \neq \mathbb{Z} \setminus \{0\}$となる．よって$\mathbb{Z}$は体ではない．
さてここまでで，整域と体という2つの特別な可換環を考えたが，実はこの2つには次のような関係がある．
定理 1.5.9
体は整域である．
証明
$R$を体とする．任意の$a,b \in R$で$ab=0$を満たすものをとる．
このとき，$a = 0$または$b=0$となることを示せばよい．$a \neq 0$と仮定してよい．$R$は体であるので，$a \in R \setminus \{0\} = R^{\times}$，つまり，$a$は単元である．よって，$a^{-1} \in R$が存在する．$ab=0$の両辺に$a^{-1}$をかけると$b=0$が従う．以上より，$R$が整域であることがわかった．
整数環は整域だが体ではなかった．つまり，この定理の逆は一般には成り立たない．
しかし，集合が有限集合であれば逆が成り立つ．
定理 1.5.10
$R$を整域とする．このとき，$R$が有限集合であれば，$R$は体である．
証明
零元でない任意の元$a \in R$をとる．今，写像$f:R\to R$を$f(x)=ax$で定義する．この写像が単射であることを示す．任意の$x,y \in R$で$f(x)=f(y)$となるものをとる．すると$ax=ay$となる．$a \neq 0$であるので簡約律から$x=y$が従う．よって$f$は単射である．すると$R$が有限集合であるので，$f$が全単射となることがわかる（補足 1.5.11参照）．よって$f(x)=ax=1$を満たす元$x \in R$が存在する．つまり，$a$は単元である．よって$R^{\times}=R\setminus \{0\}$が従うので，$R$は体である．
補足 1.5.11
証明では次の事実を使っている．有限集合$A,B$と写像$f : A \to B$に対し，次は同値：
$\mathbb{Z}$は$\mathbb{Q}$の部分環であった．このとき，$\mathbb{Q}$は体であるが，$\mathbb{Z}$は体ではない．つまり，一般に体の部分環は体ではない．しかし，これは整域の場合，その性質は部分環に引き継がれる．
- $f$は全単射である．
- $f$は単射かつ$|A| \geq |B|$である．
- $f$は全射かつ$|A| \leq |B|$である．
命題 1.5.12
$R$を整域とする．このとき零環ではない$R$の任意の部分環は整域である．
証明
$S$を$R$の零環ではない部分環とする．任意の零元ではない$0 \neq x,y \in S$をとる．$R$は整域なので$xy \neq 0$が従う．$R$と$S$の零元は一致するので，これは$S$の中でも成り立つ．よって$S$は零因子を持たない，すなわち整域である．
したがって，先ほど，ガウス整数環$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$が整域であることを定義に則って示したが，$\mathbb{C}$の部分環であることからこれは直ちに従う．